Решение

Для доказательства запишем законы сохранения энергии и импульса для системы «электрон-фотон» и покажем, что они выполняются только для несуществующего фотона с частотой $\nu = 0$.

1. Невозможность поглощения:
Рассмотрим процесс в системе отсчета, где свободный электрон изначально покоится.

• До поглощения: энергия электрона $E_{e1} = mc^2$, его импульс $p_{e1} = 0$. Энергия налетающего фотона $E_{\gamma} = h\nu$, его импульс $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$.
• После поглощения: фотон исчезает. По закону сохранения импульса, весь импульс передается электрону, то есть $p_{e2} = \frac{h\nu}{c}$. Полная энергия электрона станет $E_{e2} = \sqrt{p_{e2}^2 c^2 + m^2 c^4}$.

Запишем закон сохранения энергии:
$$E_{e1} + E_{\gamma} = E_{e2}$$
$$mc^2 + h\nu = \sqrt{\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 c^2 + m^2 c^4}$$
$$mc^2 + h\nu = \sqrt{(h\nu)^2 + m^2 c^4}$$
Возведем обе части в квадрат:
$$(mc^2)^2 + 2mc^2 h\nu + (h\nu)^2 = (h\nu)^2 + m^2 c^4$$
После сокращения получаем:
$$2mc^2 h\nu = 0$$
Так как масса электрона $m \neq 0$, скорость света $c \neq 0$ и постоянная Планка $h \neq 0$, равенство выполняется только при $\nu = 0$. Фотонов с нулевой частотой не существует, следовательно, полное поглощение невозможно.

2. Невозможность испускания:
Пусть покоящийся свободный электрон испускает фотон с частотой $\nu$.

• До испускания: энергия системы равна энергии покоя электрона $E_1 = mc^2$, импульс равен нулю.
• После испускания: появляется фотон с импульсом $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$. Чтобы суммарный импульс остался нулевым, электрон должен получить импульс отдачи $p_e = -\frac{h\nu}{c}$.

Закон сохранения энергии:
$$mc^2 = \sqrt{\left(-\frac{h\nu}{c}\right)^2 c^2 + m^2 c^4} + h\nu$$
$$mc^2 = \sqrt{(h\nu)^2 + m^2 c^4} + h\nu$$
Так как $h\nu > 0$, правая часть уравнения всегда строго больше $mc^2$. Равенство возможно опять же только при $\nu = 0$ (отсутствие испускания).