| @@ -1,17 +1,37 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $5.5.16.$ Газовый термометр состоит из двух одинаковых сосудов вместимости V0 каждый, соединенных трубкой длины l и сечения S. Трубку перекрывает капля ртути. Сосуды наполнены газом. Если температура газа в обоих сосудах одинакова, ртуть находится посередине трубки. Один сосуд помещен в термостат с температурой T0. Проградуируйте термометр, найдя зависимость температуры газа во втором сосуде от смещения ртути из положения равновесия. |
| | + | $5.5.16.$ Газовый термометр состоит из двух одинаковых сосудов вместимости $V_0$ каждый, соединенных трубкой длины $l$ и сечения $S$. Трубку перекрывает капля ртути. Сосуды наполнены газом. Если температура газа в обоих сосудах одинакова, ртуть находится посередине трубки. Один сосуд помещен в термостат с температурой $T_0$. Проградуируйте термометр, найдя зависимость температуры газа во втором сосуде от смещения ртути из положения равновесия. |
| | | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − |  |
| | + | <b>1. Состояние равновесия</b> |
| | | |
| | − |  |
| | + | Так как капля ртути находится в равновесии, давление газа в обоих сосудах в любой момент времени одинаково. Обозначим конечное давление как $p_1$. Количество вещества газа $\nu$ в обоих сосудах также одинаково, так как изначально они находились в идентичных условиях. |
| | | |
| | + | <b>2. Объемы сосудов после смещения</b> |
| | | |
| | + | Пусть капля ртути сместилась на расстояние $x$ в сторону сосуда с температурой $T_0$ (будем считать его правым). Тогда объемы газа в левом (исследуемом) и правом (термостатированном) сосудах станут равны соответственно: |
| | + | $$V_1 = V_0 + \frac{lS}{2} + xS$$ |
| | + | $$V_2 = V_0 + \frac{lS}{2} - xS$$ |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | <b>3. Уравнения состояния</b> |
| | | |
| | − | T = T0*2V0+(l+2x)S/2V0+(l-2x)S. |
| | + | Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих сосудов в конечном состоянии. |
| | + | Для левого сосуда (температура $T$): |
| | + | $$p_1 \left(V_0 + \frac{lS}{2} + xS\right) = \nu RT$$ |
| | + | Для правого сосуда (температура $T_0$): |
| | + | $$p_1 \left(V_0 + \frac{lS}{2} - xS\right) = \nu RT_0$$ |
| | | |
| | + | <b>4. Вывод итоговой формулы</b> |
| | | |
| | + | Разделим первое уравнение на второе, чтобы сократить неизвестные $p_1$, $\nu$ и $R$: |
| | + | $$\frac{V_0 + \frac{lS}{2} + xS}{V_0 + \frac{lS}{2} - xS} = \frac{T}{T_0}$$ |
| | + | Для удобства умножим числитель и знаменатель левой дроби на $2$: |
| | + | $$\frac{2V_0 + (l + 2x)S}{2V_0 + (l - 2x)S} = \frac{T}{T_0}$$ |
| | + | Отсюда выражаем искомую температуру $T$: |
| | + | $$T = T_0 \frac{2V_0 + (l + 2x)S}{2V_0 + (l - 2x)S}$$ |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | $$T = T_0 \frac{2V_0 + (l + 2x)S}{2V_0 + (l - 2x)S}$$ |
