| @@ -1,15 +1,54 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $4.2.14.$ Определите силу давления бревен массы m на стенки канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Бревна одинаковы. |
| | + | $4.2.14.$ Определите силу давления бревен массы $m$ на стенки канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Бревна одинаковы. |
| | | |
| | + |  |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − |  |
| | + |  |
| | | |
| | − |  |
| | + | <b>1. Геометрический анализ</b> |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центрами бревен (см. правый рисунок). Гипотенуза равна $2R$ (сумма радиусов двух бревен), а вертикальный катет равен $R$ (так как верхнее бревно погружено ровно наполовину, а нижнее лишь касается поверхности). |
| | + | Тогда косинус угла $\theta$ между линией центров и вертикалью: |
| | + | $$\cos\theta = \frac{R}{2R} = 0,5$$ |
| | + | Отсюда $\theta = 60^\circ$. |
| | | |
| | − | По 2 закону Ньютона: 2mg = Fa1+Fa2 = p(в.)gV+p(в.)gV/2. 2pVg = 3/2p(в.)gV. p(в.) = 4/3p. Условие равновесия для верхнего бревна: Fsina+p(в.)gV/2 = mg. N = Fcosa. Fsina+2/3mg = mg. F = mg/3sina. N = mg/3ctga=mg/√3. |
| | + | <b>2. Силы, действующие на нижнее бревно</b> |
| | | |
| | + | Запишем второй закон Ньютона для нижнего (полностью погруженного) бревна в проекциях на оси. |
| | + | На ось $x$: |
| | + | $$N = N_t \sin\theta \quad (1)$$ |
| | + | где $N$ — искомая сила реакции стенки, $N_t$ — сила взаимодействия между бревнами. |
| | + | На ось $y$: |
| | + | $$F_{A1} = mg + N_t \cos\theta$$ |
| | + | Так как бревно погружено полностью, сила Архимеда $F_{A1} = \rho_w g V$, где $V$ — объем бревна: |
| | + | $$\rho_w g V = mg + N_t \cos\theta \quad (2)$$ |
| | | |
| | + | <b>3. Силы, действующие на верхнее бревно</b> |
| | + | |
| | + | Запишем уравнения для верхнего (наполовину погруженного) бревна. |
| | + | На ось $x$ уравнение аналогично (из-за симметрии силы давления на левую и правую стенки равны): |
| | + | $$N = N_t \sin\theta$$ |
| | + | На ось $y$: |
| | + | $$F_{A2} + N_t \cos\theta = mg$$ |
| | + | Так как верхнее бревно погружено ровно наполовину, сила Архимеда $F_{A2} = \rho_w g \frac{V}{2}$: |
| | + | $$\rho_w g \frac{V}{2} + N_t \cos\theta = mg \quad (3)$$ |
| | + | |
| | + | <b>4. Решение системы уравнений</b> |
| | + | |
| | + | Выразим $\rho_w g V$ из уравнения $(2)$ и подставим в $(3)$, предварительно разделив его пополам: |
| | + | $$\frac{mg + N_t \cos\theta}{2} + N_t \cos\theta = mg$$ |
| | + | Умножим обе части на $2$: |
| | + | $$mg + N_t \cos\theta + 2N_t \cos\theta = 2mg$$ |
| | + | $$3N_t \cos\theta = mg \implies N_t = \frac{mg}{3 \cos\theta} \quad (4)$$ |
| | + | Подставим полученное выражение $(4)$ в уравнение $(1)$: |
| | + | $$N = \frac{mg}{3 \cos\theta} \sin\theta = \frac{mg}{3} \tan\theta$$ |
| | + | Так как $\theta = 60^\circ$, то $\tan\theta = \sqrt{3}$. Получаем итоговую силу давления: |
| | + | $$N = \frac{mg}{3} \sqrt{3} = \frac{mg}{\sqrt{3}}$$ |
| | + | |
| | + | <i>Примечание: По третьему закону Ньютона, сила, с которой бревна давят на стенки, равна по модулю силе реакции опоры $N$.</i> |
| | + | |
| | + | #### Ответ |
| | + | $$N = \frac{mg}{\sqrt{3}}$$ |
