Решение

Так как к нитям подвешены одинаковые по массе грузы, натяжение каждой нити одинаково: $T = mg$.

Узел нитей находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что векторная сумма сил натяжения всех трех нитей равна нулю. Из этого следует важный вывод: векторная сумма сил натяжения любых двух нитей должна по модулю равняться силе натяжения третьей нити (то есть равняться $T$) и быть направлена в противоположную сторону.

Рассмотрим сумму векторов двух сил натяжения, угол между которыми равен $\gamma$ (см. рисунок "Вид сверху"). Модуль результирующего вектора $T_R$ можно найти из геометрии ромба (или по теореме косинусов):
$$T_R = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$

Так как для равновесия необходимо, чтобы $T_R = T$, получаем уравнение:
$$T = 2T \cos\left(\frac{\gamma}{2}\right)$$
$$\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 0,5$$
$$\frac{\gamma}{2} = 60^\circ \implies \gamma = 120^\circ$$

Поскольку это условие (сумма двух векторов равна третьему) должно выполняться для любой пары нитей, то все три угла между соседними нитями должны быть равны друг другу.

Обозначив углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, получаем:
$$\alpha = \beta = \gamma = 120^\circ$$