Альтернативное решение

Определим что тут происходит.

(1) Вначале собака находится у саней, после начинает бежать набирая кин энергию за счёт работы сил трения.

(2) Собака добежала до L то есть соприкосновение с верёвкой саней $\Rightarrow$ уже рассматриваем систему (m + M) и следим за тем, когда $К_{(m + M)} \rightarrow A_{тр}$.

Опишем теперь количественно всё это.

(1) ЗСЭ: $\frac{mv^{2}}{2} = \mu g \ell \Rightarrow v^2 = 2 \mu g \ell$

(Что тут происходит? Почему кин энергия ушла в работу, а после оказывается она есть снова??? Сила трения тут играет роль ускорения с помощью, которого собака и может бежать и набирать скокрость т.е. вектор силы трения собаки и скорости собаки сонаправленные)

(2) Когда мистер собака соприкоснулась с санями у нас произошло изменение импульса в силу третьего закона Ньютона, ЗСИ:

$mv = (m + M)w \ \ \ или \ \ \ w = \frac{mv}{m+M}$

После уже $K_{M + m} \rightarrow A_{тр}$, запишем это учитывая направления векторов трения мистера собака и саней:

$\frac{(m + M) w^2}{2} = (M - m )\mu g x$

$x = \frac{(m+M)}{2(M-m)\mu g} * \frac{m^2 v^2}{(m+M)^2} = \frac{m^2 \ell}{M^2 - M^2}$