| @@ -1,42 +1,39 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.4.20.$ Собака массы m привязана поводком длины L к саням массы M > m. В начальный момент собака находится рядом с санями. На какое наибольшее расстояние собака может сдвинуть сани за один рывок, если коэффициенты трения лап собаки и полозьев саней о горизонтальную поверхность одинаковы? |
| $2.4.20^*.$ Собака массы $m$ привязана поводком длины $L$ к саням массы $M > m$. В начальный момент собака находится рядом с санями. На какое наибольшее расстояние собака может сдвинуть сани за один рывок, если коэффициенты трения лап собаки и полозьев саней о горизонтальную поверхность одинаковы? |
| |
| |
| |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
|  |
| <b>1. Разгон собаки</b>\ |
| |
| Чтобы сдвинуть сани на максимальное расстояние, собака должна тянуть с максимально возможной силой. Эта сила ограничена силой трения покоя её лап о снег: $F = \mu m g$. |
| |
| Пробегая расстояние $L$ до того момента, как поводок натянется, собака совершает работу $A = F L = \mu m g L$. По теореме об изменении кинетической энергии, эта работа переходит в кинетическую энергию собаки непосредственно перед рывком: |
| |
| $$\frac{m v^2}{2} = \mu m g L \implies v^2 = 2\mu g L$$ |
| |
| |
| |
| <b>2. Рывок (неупругий удар)</b>\ |
| |
| В момент натяжения поводка происходит рывок. Поскольку время этого взаимодействия пренебрежимо мало, импульсами внешних сил трения за это время можно пренебречь. Систему «собака + сани» можно считать замкнутой по горизонтали и применить закон сохранения импульса (абсолютно неупругий удар): |
| |
| $$m v = (M + m) u \implies u = v \frac{m}{M + m}$$ |
| |
| где $u$ — общая скорость собаки и саней сразу после рывка. |
| |
| |
| |
| <b>3. Совместное движение и торможение</b>\ |
| |
| После рывка система движется как единое целое. Найдем результирующую силу, действующую на систему. |
| |
| Сани тормозят силой трения скольжения $F_{\text{тр}} = \mu M g$ (направлена против движения). Собака же продолжает «грести» лапами, создавая максимальную силу тяги $F = \mu m g$ (направлена по движению). |
| |
| Следовательно, результирующая тормозящая сила равна: |
| |
| $$F_{\text{торм}} = \mu M g - \mu m g = \mu(M - m)g$$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| Снова применим теорему об изменении кинетической энергии. Вся кинетическая энергия системы тратится на работу против этой результирующей тормозящей силы на искомом пути $x$: |
| |
| $$\frac{(M + m) u^2}{2} = F_{\text{торм}} x = \mu(M - m)g x$$ |
| |
| |
| Определим скорость собаки при пробеге ею расстояния 𝐿, в момент времени, когда поводок начинает натягиваться. Работа силы трения, которая в данном случае является движущей силой, равна изменению кинетической энергии собачки. μmgL=mU^2/2. U^2=2μgL. Можно найти скорость собаки и в момент времени, когда она начинает тянуть сани. Её усилия, по сути, распределяются на две массы, её собственную и массу саней. На основании закона сохранения энергии: mU^2=(m+M)u^2. u^2=mU^2/(M+m). Сила трения полозьев о снег и сила трения собачьих лап будут иметь противоположное направление. Сила трения лап собаки создаёт движение, а сила трения саней - наоборот, препятствует движению. mu^2/2=(M-m)μgx. x=m^2L/(M^2-m^2). P.S. Вычисления на фото. |
| <b>4. Вычисление итогового расстояния</b>\ |
| |
| Выразим $x$ из последнего уравнения: |
| |
| $$x = \frac{(M + m) u^2}{2 \mu(M - m)g}$$ |
| |
| Подставим выражение для скорости $u$: |
| |
| $$x = \frac{(M + m)}{2 \mu(M - m)g} \left( v \frac{m}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2 \mu (M - m)(M + m) g}$$ |
| |
| Теперь подставим $v^2 = 2\mu g L$: |
| |
| $$x = \frac{m^2 (2\mu g L)}{2 \mu (M^2 - m^2) g}$$ |
| |
| После сокращения $2\mu g$ получаем финальный ответ: |
| |
| $$x = \frac{m^2 L}{M^2 - m^2}$$ |
| |
| |
| ### Альтернативное решение: |
| #### Ответ |
| |
| $$x = \frac{m^2 L}{M^2 - m^2}$$ |
| Определим что тут происходит. |
| |
| |
| |
| (1) Вначале собака находится у саней, после начинает бежать набирая кин энергию за счёт работы сил трения. |
| |
| |
| |
| (2) Собака добежала до L то есть соприкосновение с верёвкой саней $\Rightarrow$ уже рассматриваем систему (m + M) и следим за тем, когда $К_{(m + M)} \rightarrow A_{тр}$. |
| |
| |
| |
| Опишем теперь количественно всё это. |
| |
| |
| |
| (1) ЗСЭ: $\frac{mv^{2}}{2} = \mu g \ell \Rightarrow v^2 = 2 \mu g \ell$ |
| |
| |
| |
| (Что тут происходит? Почему кин энергия ушла в работу, а после оказывается она есть снова??? Сила трения тут играет роль ускорения с помощью, которого собака и может бежать и набирать скокрость т.е. вектор силы трения собаки и скорости собаки сонаправленные) |
| |
| |
| |
| (2) Когда мистер собака соприкоснулась с санями у нас произошло изменение импульса в силу третьего закона Ньютона, ЗСИ: |
| |
| |
| |
| $mv = (m + M)w \ \ \ или \ \ \ w = \frac{mv}{m+M}$ |
| |
| |
| |
| После уже $K_{M + m} \rightarrow A_{тр}$, запишем это учитывая направления векторов трения мистера собака и саней: |
| |
| |
| |
| $\frac{(m + M) w^2}{2} = (M - m )\mu g x$ |
| |
| |
| |
| $x = \frac{(m+M)}{2(M-m)\mu g} * \frac{m^2 v^2}{(m+M)^2} = \frac{m^2 \ell}{M^2 - M^2}$ |
| |
| |
| |
| ### Ответ: |
| |
| \[ |
| |
| \boxed{x = \frac{m^2 \ell}{M^2 - M^2}} |
| |
| \] |
| |
