Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/4.2.12.md
+30 −6
| @@ -1,15 +1,39 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.12.$ Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема | ||
| − | 10 см^3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. | ||
| − | Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. | ||
| + | $4.2.12.$ Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 10 см³ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | <b>1. Уравнение для верхнего шарика</b>\ | ||
| + | На верхний шарик действуют сила тяжести $m_{\uparrow}g$, сила натяжения нити $T$ (направлена вниз) и выталкивающая сила Архимеда $F_{\uparrow}$ (направлена вверх). Так как шарик погружен ровно наполовину, сила Архимеда равна $F_{\uparrow} = \rho_0 g \frac{V}{2}$, где $\rho_0$ — плотность воды. Условие статического равновесия: | ||
| + | $$m_{\uparrow} g + T = \rho_0 g \frac{V}{2} \quad (1)$$ | ||
| − | $T$ = 12 мН = 1,2*10^(-2) Н. | ||
| + | <b>2. Уравнение для нижнего шарика</b>\ | ||
| + | На нижний шарик действуют сила тяжести $m_{\downarrow}g$, сила натяжения нити $T$ (направлена вверх) и сила Архимеда $F_{\downarrow}$ (так как он погружен полностью, $F_{\downarrow} = \rho_0 g V$). Условие равновесия: | ||
| + | $$m_{\downarrow} g = T + \rho_0 g V \quad (2)$$ | ||
| + | <b>3. Решение системы уравнений</b>\ | ||
| + | По условию задачи нижний шарик в три раза тяжелее верхнего, следовательно, $m_{\downarrow} = 3 m_{\uparrow}$. | ||
| + | Выразим силу тяжести верхнего шарика из уравнения $(1)$: | ||
| + | $$m_{\uparrow} g = \rho_0 g \frac{V}{2} - T \quad (3)$$ | ||
| + | Разделим уравнение $(2)$ на уравнение $(3)$, учитывая соотношение масс ($m_{\downarrow} = 3 m_{\uparrow}$): | ||
| + | $$\frac{3 m_{\uparrow} g}{m_{\uparrow} g} = \frac{\rho_0 g V + T}{\rho_0 g \frac{V}{2} - T}$$ | ||
| + | $$3 = \frac{\rho_0 g V + T}{\rho_0 g \frac{V}{2} - T}$$ | ||
| + | |||
| + | Решим полученное уравнение относительно силы натяжения $T$: | ||
| + | $$3 \left( \rho_0 g \frac{V}{2} - T \right) = \rho_0 g V + T$$ | ||
| + | $$\frac{3}{2} \rho_0 g V - 3T = \rho_0 g V + T$$ | ||
| + | $$4T = \frac{1}{2} \rho_0 g V$$ | ||
| + | $$T = \frac{\rho_0 g V}{8}$$ | ||
| + | |||
| + | <b>4. Расчет</b>\ | ||
| + | Подставим числовые значения: $\rho_0 =$ 1000 кг/м³, $V =$ 10 см³ = 10⁻⁵ м³, $g =$ 9,8 м/с². | ||
| + | $$T = \frac{1000 \cdot 9,8 \cdot 10^{-5}}{8} = 1,225 \cdot 10^{-2} \text{ Н}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | $$T \approx 1,2 \cdot 10^{-2} \text{ Н}$$ | ||
| @@ -1,15 +1,39 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.12.$ Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема | $4.2.12.$ Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 10 см³ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. | ||
| 10 см^3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. | |||
| Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. | |||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | ||
| #### Ответ | <b>1. Уравнение для верхнего шарика</b>\ | ||
| На верхний шарик действуют сила тяжести $m_{\uparrow}g$, сила натяжения нити $T$ (направлена вниз) и выталкивающая сила Архимеда $F_{\uparrow}$ (направлена вверх). Так как шарик погружен ровно наполовину, сила Архимеда равна $F_{\uparrow} = \rho_0 g \frac{V}{2}$, где $\rho_0$ — плотность воды. Условие статического равновесия: | |||
| $$m_{\uparrow} g + T = \rho_0 g \frac{V}{2} \quad (1)$$ | |||
| $T$ = 12 мН = 1,2*10^(-2) Н. | <b>2. Уравнение для нижнего шарика</b>\ | ||
| На нижний шарик действуют сила тяжести $m_{\downarrow}g$, сила натяжения нити $T$ (направлена вверх) и сила Архимеда $F_{\downarrow}$ (так как он погружен полностью, $F_{\downarrow} = \rho_0 g V$). Условие равновесия: | |||
| $$m_{\downarrow} g = T + \rho_0 g V \quad (2)$$ | |||
| <b>3. Решение системы уравнений</b>\ | |||
| По условию задачи нижний шарик в три раза тяжелее верхнего, следовательно, $m_{\downarrow} = 3 m_{\uparrow}$. | |||
| Выразим силу тяжести верхнего шарика из уравнения $(1)$: | |||
| $$m_{\uparrow} g = \rho_0 g \frac{V}{2} - T \quad (3)$$ | |||
| Разделим уравнение $(2)$ на уравнение $(3)$, учитывая соотношение масс ($m_{\downarrow} = 3 m_{\uparrow}$): | |||
| $$\frac{3 m_{\uparrow} g}{m_{\uparrow} g} = \frac{\rho_0 g V + T}{\rho_0 g \frac{V}{2} - T}$$ | |||
| $$3 = \frac{\rho_0 g V + T}{\rho_0 g \frac{V}{2} - T}$$ | |||
| Решим полученное уравнение относительно силы натяжения $T$: | |||
| $$3 \left( \rho_0 g \frac{V}{2} - T \right) = \rho_0 g V + T$$ | |||
| $$\frac{3}{2} \rho_0 g V - 3T = \rho_0 g V + T$$ | |||
| $$4T = \frac{1}{2} \rho_0 g V$$ | |||
| $$T = \frac{\rho_0 g V}{8}$$ | |||
| <b>4. Расчет</b>\ | |||
| Подставим числовые значения: $\rho_0 =$ 1000 кг/м³, $V =$ 10 см³ = 10⁻⁵ м³, $g =$ 9,8 м/с². | |||
| $$T = \frac{1000 \cdot 9,8 \cdot 10^{-5}}{8} = 1,225 \cdot 10^{-2} \text{ Н}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$T \approx 1,2 \cdot 10^{-2} \text{ Н}$$ | |||