Решение

Система находится в равновесии, поэтому сумма моментов всех сил равна нулю ($\sum \vec{\tau} = 0$). Выберем в качестве оси вращения центр масс палочки (находящийся на расстоянии $l/2$ от дна вдоль палочки).

Считаем, что шарик имеет массу $m_b$, а силу Архимеда обозначим как $F_A$. Запишем уравнение моментов:
$$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) \cos\alpha - N \frac{l}{2} \cos\alpha = 0$$
Разделим обе части на $\cos\alpha$:
$$F_A \left(\frac{l}{2} + r\right) - m_b g \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$

Так как шарик погружен наполовину, выталкивающая сила $F_A = \rho g \frac{V}{2}$, где объем шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Массу шарика можно выразить через его плотность $m_b = \rho_0 V$. Подставим это в уравнение:
$$\rho g \frac{V}{2} \left(\frac{l}{2} + r\right) - \rho_0 g V \left(\frac{l}{2} + r\right) - N \frac{l}{2} = 0$$
Выразим силу реакции опоры $N$:
$$N = \frac{2\pi r^3 g}{3} \left(1 + 2\frac{r}{l}\right) (\rho - 2\rho_0)$$

Поскольку по условию шарик пустотелый (его массой можно пренебречь), принимаем $\rho_0 = 0$. Тогда:
$$N = \frac{2}{3}\pi r^3 \rho g \left(1 + 2\frac{r}{l}\right)$$