| ### Условие | | ### Условие |
| $3.9.8^\ast.$ а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня $S$, плотность его материала $\rho$, скорость волны в стержне $c$. \ | | $3.9.8^\ast.$ а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня $S$, плотность его материала $\rho$, скорость волны в стержне $c$. \ |
| б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии $l$ друг от друга, действует продольная внешняя сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны возникают в стержне? При каких значениях $l$ мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности? | | б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии $l$ друг от друга, действует продольная внешняя сила $F = F_0 \cos \omega t$. Какие волны возникают в стержне? При каких значениях $l$ мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| <b>Часть А. Один источник</b> | | <b>Часть А. Один источник</b> |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| <b>1. Волны скорости</b>\ | | <b>1. Волны скорости</b>\ |
| Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях. | | Расположим начало координат $x=0$ в сечении, где приложена сила. Внешняя сила $F(t)$ генерирует две упругие волны, бегущие в противоположных направлениях. |
| Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$. | | Волновое (акустическое) сопротивление одного полубесконечного стержня равно $Z = \rho c S$. Так как источник вынужден «раскачивать» одновременно два полубесконечных стержня (справа и слева), суммарная сила сопротивления среды равна $2Zv(0, t)$. |
| По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением: | | По третьему закону Ньютона внешняя сила уравновешивается этим сопротивлением: |
| $$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$ | | $$F_0 \cos\omega t = 2 \rho c S v(0, t)$$ |
| Отсюда находим скорость сечения $x=0$: | | Отсюда находим скорость сечения $x=0$: |
| $$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$ | | $$v(0, t) = \frac{F_0}{2 \rho c S} \cos\omega t$$ |
| Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости (учитывая запаздывание фазы на $\pm kx$) примут вид: | | Введем обозначения: амплитуда скорости $v_m = \frac{F_0}{2 \rho c S}$, волновое число $k = \frac{\omega}{c}$. Тогда уравнения бегущих волн скорости (учитывая запаздывание фазы на $\pm kx$) примут вид: |
| | | |
| При $x > 0$: | | При $x > 0$: |
| $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$ | | $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t - kx)$$ |
| При $x < 0$: | | При $x < 0$: |
| $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$ | | $$v(x,t) = v_m \cos(\omega t + kx)$$ |
| | | |
| <b>2. Волны деформации</b>\ | | <b>2. Волны деформации</b>\ |
| Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$. | | Относительная деформация $\varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x}$ связана со скоростью частиц $v = \frac{\partial u}{\partial t}$. |
| Для плоской волны, бегущей вправо ($x>0$), справедливо $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей влево ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$. | | Для плоской волны, бегущей вправо ($x>0$), справедливо $\varepsilon = -v/c$. Для волны, бегущей влево ($x<0$), справедливо $\varepsilon = v/c$. |
| Уравнения волн деформации: | | Уравнения волн деформации: |
| | | |
| При $x > 0$: | | При $x > 0$: |
| $$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$ | | $$\varepsilon(x,t) = -\frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t - kx)$$ |
| При $x < 0$: | | При $x < 0$: |
| $$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$ | | $$\varepsilon(x,t) = \frac{F_0}{2 \rho c^2 S} \cos(\omega t + kx)$$ |
| | | |
| --- | | --- |
| <b>1. Вне источников (бегущие волны)</b>\ | | <b>1. Вне источников (бегущие волны)</b>\ |
| Рассмотрим область правее обоих источников ($x > l/2$). Суммируем две волны, бегущие вправо: | | Рассмотрим область правее обоих источников ($x > l/2$). Суммируем две волны, бегущие вправо: |
| $$v_{\text{рез}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(x - \frac{l}{2}\right)\right)$$ | | $$v_{\text{рез}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(x - \frac{l}{2}\right)\right)$$ |
| Применяя формулу суммы косинусов, получаем уравнение двух разбегающихся волн вне источников: | | Применяя формулу суммы косинусов, получаем уравнение двух разбегающихся волн вне источников: |
| $$v_{\text{рез}} = 2 v_m \cos\left(\frac{kl}{2}\right) \cos(\omega t - kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\frac{\omega l}{2c}\right) \cos\left(\omega \left(t - \frac{x}{c}\right)\right)$$ | | $$v_{\text{рез}} = 2 v_m \cos\left(\frac{kl}{2}\right) \cos(\omega t - kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\frac{\omega l}{2c}\right) \cos\left(\omega \left(t - \frac{x}{c}\right)\right)$$ |
| | | |
| <b>2. Между источниками (стоячая волна)</b>\ | | <b>2. Между источниками (стоячая волна)</b>\ |
| В области $-l/2 < x < l/2$ волна от левого источника бежит вправо, а от правого — влево: | | В области $-l/2 < x < l/2$ волна от левого источника бежит вправо, а от правого — влево: |
| $$v_{\text{внутр}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(\frac{l}{2} - x\right)\right)$$ | | $$v_{\text{внутр}} = v_m \cos\left(\omega t - k\left(x + \frac{l}{2}\right)\right) + v_m \cos\left(\omega t - k\left(\frac{l}{2} - x\right)\right)$$ |
| $$v_{\text{внутр}} = 2 v_m \cos\left(\omega t - \frac{kl}{2}\right) \cos(kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\omega \left(t - \frac{l}{2c}\right)\right) \cos\left(\frac{\omega x}{c}\right)$$ | | $$v_{\text{внутр}} = 2 v_m \cos\left(\omega t - \frac{kl}{2}\right) \cos(kx) = \frac{F_0}{\rho c S} \cos\left(\omega \left(t - \frac{l}{2c}\right)\right) \cos\left(\frac{\omega x}{c}\right)$$ |
| Здесь образуется классическая стоячая волна. | | Здесь образуется классическая стоячая волна. |
| | | |
| <b>3. Анализ мощности</b>\ | | <b>3. Анализ мощности</b>\ |
| Мощность, излучаемая во внешнюю область, пропорциональна квадрату амплитуды бегущей волны $v_{\text{рез}}$. | | Мощность, излучаемая во внешнюю область, пропорциональна квадрату амплитуды бегущей волны $v_{\text{рез}}$. |
| | | |
| <b>Наибольшая мощность</b> достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = \pm 1$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \pi n$. | | <b>Наибольшая мощность</b> достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = \pm 1$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \pi n$. |
| Отсюда $l = n \frac{2\pi c}{\omega} = n\lambda$. На расстоянии $l$ умещается четное число полуволн. Волны усиливают друг друга. | | Отсюда $l = n \frac{2\pi c}{\omega} = n\lambda$. На расстоянии $l$ умещается четное число полуволн. Волны усиливают друг друга. |
| | | |
| <b>Наименьшая мощность</b> (равная нулю) достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = 0$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. | | <b>Наименьшая мощность</b> (равная нулю) достигается при $\cos\left(\frac{kl}{2}\right) = 0$, что соответствует $\frac{\omega l}{2c} = \frac{\pi}{2} + \pi n$. |
| Отсюда $l = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda$. На расстоянии $l$ умещается нечетное число полуволн. Во внешней области волны полностью гасят друг друга. | | Отсюда $l = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda$. На расстоянии $l$ умещается нечетное число полуволн. Во внешней области волны полностью гасят друг друга. |
| | | |
| <b>4. Почему энергия результирующей волны не равна сумме энергий источников?</b>\ | | <b>4. Почему энергия результирующей волны не равна сумме энергий источников?</b>\ |
| Мощность, которую источник передает стержню, равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения: $P = F \cdot v$. | | Мощность, которую источник передает стержню, равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения: $P = F \cdot v$. |
| Особенность системы в том, что скорость $v$ в месте приложения первой силы складывается из скорости, инициированной самой этой силой, и скорости волны, <i>пришедшей от второго источника</i>. | | Особенность системы в том, что скорость $v$ в месте приложения первой силы складывается из скорости, инициированной самой этой силой, и скорости волны, <i>пришедшей от второго источника</i>. |
| | | |
| Источники взаимодействуют друг с другом через упругую среду стержня. Если $l = (n+0,5)\lambda$, волна от второго источника приходит к первому в противофазе. В результате скорость металла в точке приложения силы становится равной нулю. Источник действует с силой $F_0 \cos\omega t$, но точка приложения не перемещается, следовательно, работа не совершается ($P = 0$). Источники «блокируют» работу друг друга, из-за чего суммарная излучаемая энергия равна нулю. | | Источники взаимодействуют друг с другом через упругую среду стержня. Если $l = (n+0,5)\lambda$, волна от второго источника приходит к первому в противофазе. В результате скорость металла в точке приложения силы становится равной нулю. Источник действует с силой $F_0 \cos\omega t$, но точка приложения не перемещается, следовательно, работа не совершается ($P = 0$). Источники «блокируют» работу друг друга, из-за чего суммарная излучаемая энергия равна нулю. |
