Решение

Решение в Latex

Поскольку в задаче требуется оценить скорость (на что указывает и знак $\approx$ в ответе задачника), числовыми коэффициентами порядка единицы можно пренебречь. Мы приведем два метода: упрощенную кинематическую оценку (соответствующую ответу задачника) и строгий аналитический вывод.

Метод 1. Кинематическая оценка
Приближенно представим траекторию электрона как две склеенные полуокружности. В верхней части траектории поле слабее ($B_1$), радиус больше ($R_1$). В нижней — поле сильнее ($B_2$), радиус меньше ($R_2$).

Радиус траектории $R = \frac{m_e v}{eB}$. Смещение электрона вдоль оси $y$ за один полный оборот равно разности диаметров:
$$\Delta y = 2R_2 - 2R_1 = \frac{2m_e v}{e} \left( \frac{1}{B_2} - \frac{1}{B_1} \right) = \frac{2m_e v}{e} \frac{B_1 - B_2}{B_1 B_2}$$

Расстояние между центрами полуокружностей примерно равно $2R \approx \frac{2m_e v}{eB_0}$. На этом расстоянии магнитное поле изменяется на величину:
$$dB = \alpha B_0 \cdot \Delta x = \alpha B_0 \frac{2m_e v}{eB_0} = \frac{2\alpha m_e v}{e}$$

Тогда разность полей $B_1 - B_2 = -dB$, а знаменатель $B_1 B_2 \approx B_0^2$. Модуль смещения:
$$|\Delta y| \approx \frac{2m_e v}{e B_0^2} dB = \frac{2m_e v}{e B_0^2} \frac{2\alpha m_e v}{e} = \frac{4\alpha m_e^2 v^2}{e^2 B_0^2}$$

Время одного оборота $T \approx \frac{2\pi m_e}{e B_0}$. Оценочная скорость дрейфа:
$$v_d = \frac{|\Delta y|}{T} = \frac{4\alpha m_e^2 v^2 / (e^2 B_0^2)}{2\pi m_e / (e B_0)} = \frac{2}{\pi} \frac{\alpha m_e v^2}{e B_0}$$

Отбрасывая множитель $\frac{2}{\pi} \approx 0,63$ (так как нас интересует лишь порядок величины), получаем авторскую оценку:
$$v_d \approx \frac{\alpha m_e v^2}{e B_0}$$

Метод 2. Строгий расчет (через магнитный момент)
Для точного вычисления воспользуемся методом эквивалентного магнитного диполя.
Электрон, вращающийся по круговой орбите, эквивалентен замкнутому контуру с током. Так как $v \ll eB_0/(\alpha m_e)$, изменение поля на масштабе витка мало. Радиус $R = \frac{m_e v}{e B_0}$, период $T = \frac{2\pi m_e}{e B_0}$.
Эффективный ток такого контура:
$$I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2\pi R}$$

Магнитный момент этого микротока $\mu = I S$, где площадь $S = \pi R^2$:
$$\mu = \frac{e v}{2\pi R} \cdot \pi R^2 = \frac{e v R}{2} = \frac{m_e v^2}{2 B_0}$$

Энергия магнитного диполя во внешнем магнитном поле равна $U = \mu B_z$.
На диполь в неоднородном поле действует эффективная сила, стремящаяся вытолкнуть его в область слабого поля:
$$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\mu \frac{\partial B_z}{\partial x} = -\frac{m_e v^2}{2 B_0} \cdot B_0 \alpha = -\frac{m_e v^2 \alpha}{2}$$

Скорость дрейфа под действием поперечной силы $\vec{F}$ вычисляется как $\vec{v}_d = \frac{\vec{F} \times \vec{B}}{q B^2}$. Подставляя модуль силы, получаем точное значение скорости градиентного дрейфа:
$$v_d = \frac{F_x}{eB_0} = \frac{1}{2} \frac{m_e v^2 \alpha}{e B_0}$$

Как видно, строгий расчет дает дополнительный коэффициент $1/2$, который теряется при грубой кинематической оценке. Вектор скорости направлен влево (вдоль оси $-y$).