Решение

Найдём модуль равнодействующей силы $F$, действующей на один из зарядов $-q$ и направленной к центру орбиты.
Эта сила представляет собой суперпозицию силы притяжения со стороны центрального заряда $q$ и сил отталкивания со стороны трех других зарядов $-q$.

Радиус орбиты (расстояние до центра) равен $r = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
Используя закон Кулона, спроецируем все силы на радиальную ось:
$$F = F_{\text{центр}} - 2F_{\text{сосед}} \cdot \cos 45^\circ - F_{\text{противоп}} \quad (1)$$

Где:

• 1-е слагаемое — взаимодействие с центральным зарядом $q$.
• 2-е слагаемое — взаимодействие с двумя соседними зарядами $-q$ (на расстоянии $\ell$).
• 3-е слагаемое — взаимодействие с противоположным зарядом $-q$ (на расстоянии $\ell\sqrt{2}$).

Подставляем выражения для сил по закону Кулона:
$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{(\ell/\sqrt{2})^2} - 2 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{(\ell\sqrt{2})^2} \quad (2)$$

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( 2 - \sqrt{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \right) \quad (3)$$

Примечание: Так как $3 > 2\sqrt{2}$, получаем $F > 0$. Равнодействующая сила действительно направлена к центру, что обеспечивает возможность движения по окружности.

Согласно второму закону Ньютона для движения по окружности (где $a_{\text{цс}}$ — центростремительное ускорение):
$$\omega^2 r = a_{\text{цс}} = \frac{F}{m} \quad (4)$$

Отсюда выражаем угловую скорость $\omega$:
$$\omega = \sqrt{\frac{F}{mr}} = \sqrt{ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{\ell^2} \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{1}{m \ell / \sqrt{2}} } \quad (5)$$

После математических преобразований (умножения числителя на $\sqrt{2}$) получаем финальное выражение:
$$\omega = \sqrt{ \frac{3\sqrt{2} - 4}{2} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{m\ell^3} } \quad (6)$$