$3.8.9^*.$ Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения $\sigma_0$ и протяженностью $L$. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв $\sigma^* < \sigma_0$? Рассмотрите случаи $\sigma_0 \gg\sigma^*$ и $\sigma_0 \approx\sigma^*$.
В условии переобозначен предел прочности на разрыв $\sigma^*$. В задаче под прочностью на разрыв понимается прочность на растягивающее напряжение.
#### Диаграммы
Начинаем смотреть диаграммы напряжения (изменения давления) после касания прямой волны бегущей (см. рисунок к задаче) свободной границы стержня, к которой изначально двигалась положительная полуволна напряжения. Эта свободная граница совпадает на диаграммах с вертикальной осью, на которой откладываем значения напряжения $\sigma$.
Пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, меньшее $L/2$. Вот диаграмма (используем прием задачи $3.8.6$ в терминах напряжения).
Из анализа рисунка Д1 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, меньшее $L/2$, в стержне нет растяжения и не может быть откола (откол есть разрушение в точке, в которой превышена прочность на растяжение).
Ясно, что если прямая бегущая вошла в границу на расстояние $L/2$, то напряжение в стержне отсутствует (постройте диаграмму, чтобы убедиться).
Теперь пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, большее(!) $L/2$. Вот диаграмма.
Из анализа рисунка Д2 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, большее $L/2$, в стержне только точки с растяжением (отрицательное напряжение) и в какой-то точке может быть превышено по модулю максимальное напряжение растяжения $\sigma^*$.
#### Точка откола
@@ -33,17 +33,17 @@Точка откола
Случаи под диаграмму Д2 дают понять, что максимальное напряжение растяжения всегда под крайней левой точкой прямой бегущей, под точкой $A$ на диаграмме Д2. В этой точке и произойдет откол.
−
Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, модуль напряжения под точкой $A$ меняется по закону синуса: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.
+
Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, напряжение под точкой $A$ меняется по обратному синусу: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.
−
Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае модуль напряжения под ней меняется по синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.
+
Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае напряжение под ней меняется по обратному синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.
−
Итак, закон изменения напряжения растяжения (модуль) после появления растяжения
+
Итак, закон изменения напряжения растяжения после появления растяжения
l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma^*}{\sigma_0}\right).
$$
При $\sigma_0\gg\sigma^*$:
$$
l \approx\frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\sigma^*}{\sigma_0}\right) \approx\frac{L}{2}.
$$
При $\sigma_0\approx\sigma^*$:
$$
l \approx\frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\frac{\pi}{2}\right) \approx\frac{L}{4}.
$$
unchanged lines 55
### Условие
### Условие
$3.8.9^*.$ Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения $\sigma_0$ и протяженностью $L$. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв $\sigma^* < \sigma_0$? Рассмотрите случаи $\sigma_0 \gg\sigma^*$ и $\sigma_0 \approx\sigma^*$.
$3.8.9^*.$ Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения $\sigma_0$ и протяженностью $L$. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв $\sigma^* < \sigma_0$? Рассмотрите случаи $\sigma_0 \gg\sigma^*$ и $\sigma_0 \approx\sigma^*$.
В условии переобозначен предел прочности на разрыв $\sigma^*$. В задаче под прочностью на разрыв понимается прочность на растягивающее напряжение.
В условии переобозначен предел прочности на разрыв $\sigma^*$. В задаче под прочностью на разрыв понимается прочность на растягивающее напряжение.
#### Диаграммы
#### Диаграммы
Начинаем смотреть диаграммы напряжения (изменения давления) после касания прямой волны бегущей (см. рисунок к задаче) свободной границы стержня, к которой изначально двигалась положительная полуволна напряжения. Эта свободная граница совпадает на диаграммах с вертикальной осью, на которой откладываем значения напряжения $\sigma$.
Начинаем смотреть диаграммы напряжения (изменения давления) после касания прямой волны бегущей (см. рисунок к задаче) свободной границы стержня, к которой изначально двигалась положительная полуволна напряжения. Эта свободная граница совпадает на диаграммах с вертикальной осью, на которой откладываем значения напряжения $\sigma$.
Пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, меньшее $L/2$. Вот диаграмма (используем прием задачи $3.8.6$ в терминах напряжения).
Пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, меньшее $L/2$. Вот диаграмма (используем прием задачи $3.8.6$ в терминах напряжения).
Из анализа рисунка Д1 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, меньшее $L/2$, в стержне нет растяжения и не может быть откола (откол есть разрушение в точке, в которой превышена прочность на растяжение).
Из анализа рисунка Д1 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, меньшее $L/2$, в стержне нет растяжения и не может быть откола (откол есть разрушение в точке, в которой превышена прочность на растяжение).
Ясно, что если прямая бегущая вошла в границу на расстояние $L/2$, то напряжение в стержне отсутствует (постройте диаграмму, чтобы убедиться).
Ясно, что если прямая бегущая вошла в границу на расстояние $L/2$, то напряжение в стержне отсутствует (постройте диаграмму, чтобы убедиться).
Теперь пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, большее(!) $L/2$. Вот диаграмма.
Теперь пусть прямая волна бегущая вошла в границу на расстояние, большее(!) $L/2$. Вот диаграмма.
Из анализа рисунка Д2 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, большее $L/2$, в стержне только точки с растяжением (отрицательное напряжение) и в какой-то точке может быть превышено по модулю максимальное напряжение растяжения $\sigma^*$.
Из анализа рисунка Д2 при вхождении прямой волны в границу на расстояние, большее $L/2$, в стержне только точки с растяжением (отрицательное напряжение) и в какой-то точке может быть превышено по модулю максимальное напряжение растяжения $\sigma^*$.
#### Точка откола
#### Точка откола
@@ -33,17 +33,17 @@Точка откола
Случаи под диаграмму Д2 дают понять, что максимальное напряжение растяжения всегда под крайней левой точкой прямой бегущей, под точкой $A$ на диаграмме Д2. В этой точке и произойдет откол.
Случаи под диаграмму Д2 дают понять, что максимальное напряжение растяжения всегда под крайней левой точкой прямой бегущей, под точкой $A$ на диаграмме Д2. В этой точке и произойдет откол.
Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, модуль напряжения под точкой $A$ меняется по закону синуса: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.
Кто-то додумается, что после момента времени, когда прямая вошла в границу на $L/2$, напряжение под точкой $A$ меняется по обратному синусу: точке $A$ отвечает значение напряжения в обратной бегущей под ней.
Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае модуль напряжения под ней меняется по синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.
Если дальнейшее решение связано с точкой $A$, перейдем в ситему, связанную с точкой $A$. В таком случае напряжение под ней меняется по обратному синусу (после начала появления растяжения в стержне). Тогда обратная волна пробегает точку $A$ со скоростью $2c$, и если виртуально продолжать синусоидальный профиль обратной, то значение под точкой $A$ меняется периодически с периодом $T = 2L/(2c)$.
Итак, закон изменения напряжения растяжения (модуль) после появления растяжения
Итак, закон изменения напряжения растяжения после появления растяжения
