Решение

Рассмотрим луч, параллельный главной оптической оси и падающий на сферическое зеркало в точке $A$.

Радиус зеркала $OA = R$ является нормалью к поверхности в точке падения. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения: $\angle (\text{падающий луч}, OA) = \angle OAF = \alpha$.

Так как падающий луч параллелен главной оптической оси $OC$, внутренний накрест лежащий угол $\angle AOF$ также равен $\alpha$.

Следовательно, треугольник $\triangle AOF$ является равнобедренным, откуда:
$$|OF| = |AF|$$

Опустим перпендикуляр из точки $F$ на отрезок $OA$. В равнобедренном треугольнике он является медианой, поэтому:
$$|OF| \cos \alpha = \frac{R}{2} \implies |OF| = \frac{R}{2 \cos \alpha}$$

Расстояние от полюса зеркала $C$ до фокуса $F$ (фокусное расстояние) равно:
$$F = |OC| - |OF| = R - \frac{R}{2 \cos \alpha}$$

Для параксиальных лучей, формирующих четкое изображение, угол $\alpha$ мал ($\alpha \to 0$). В этом приближении $\cos \alpha \approx 1$.

Выполняя предельный переход, получаем искомое фокусное расстояние сферического зеркала:
$$F = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$$