Решение

Условие

$6.3.16.$ В полости металлического шара радиуса $R$ находится заряд $Q$. Найдите заряд, индуцируемый этим зарядом на поверхности полости. Почему на поверхности шара заряд будет распределен с постоянной плотностью? Чему равна поверхностная плотность заряда шара, если его полный заряд равен нулю? Найдите напряженность электрического поля вне шара на расстоянии $L$ от его центра в случае, если его полный заряд равен $q$. Зависит ли это поле от месторасположения полости в шаре? от ее формы?

Решение

1. Индуцированный заряд на поверхности полости:
Внутри проводника (в толще металла) электростатическое поле всегда равно нулю ($E = 0$). Окружим полость замкнутой гауссовой поверхностью, проходящей внутри металла шара. По теореме Гаусса, полный заряд внутри этой поверхности должен быть равен нулю. Следовательно, заряд $Q$ в полости индуцирует на внутренней поверхности полости заряд:
$$Q_{\text{внутр}} = -Q$$

2. Распределение заряда на внешней поверхности:
Поскольку электрическое поле внутри металла равно нулю, внешняя поверхность шара полностью экранирована от того, что происходит внутри полости. Для внешнего наблюдателя металлический шар является эквипотенциальной поверхностью правильной сферической формы. Отсутствие внешних полей заставляет индуцированный заряд на внешней поверхности распределяться строго равномерно в силу симметрии.

3. Поверхностная плотность при нулевом полном заряде шара:
Если полный заряд самого шара равен нулю, то появление заряда $-Q$ на внутренней поверхности (стенке полости) означает, что на внешней поверхности должен появиться компенсирующий заряд $+Q$ (закон сохранения заряда).
Так как он распределен равномерно по сфере радиуса $R$, его поверхностная плотность равна:
$$\sigma = \frac{+Q}{S} = \frac{Q}{4\pi R^2}$$

4. Напряженность поля вне шара при заряде шара $q$:
Если металлический шар имеет собственный суммарный заряд $q$, то по закону сохранения заряда на его внешней поверхности соберется суммарный заряд $(Q + q)$.
Применяя теорему Гаусса для сферической поверхности радиуса $L > R$, получим, что поле вне шара эквивалентно полю точечного заряда, помещенного в центр:
$$E(L) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q + q}{L^2}$$

5. Зависимость от полости:
Электрическое поле снаружи шара не зависит ни от месторасположения полости, ни от ее формы. Металлический слой полностью «забывает» геометрию внутренней части, экранируя ее. Внешнее поле определяется только формой внешней поверхности шара и суммарным зарядом.