Решение

Пусть мощность точечного изотропного источника света равна $P$. Тогда его сила света одинакова по всем направлениям и равна $I = \frac{P}{4\pi}$.

1. Освещенность левой стороны пластинки ($E_L$)

Свет от источника $S$ падает на левую сторону пластинки напрямую. Расстояние от источника до центра пластинки по теореме Пифагора равно $d = \sqrt{l^2 + h^2}$.

Угол падения лучей $\theta$ (угол между нормалью к пластинке и направлением луча) можно выразить из геометрии:
$$\cos \theta = \frac{l}{d} = \frac{l}{\sqrt{l^2 + h^2}}$$

По закону освещенности:
$$E_L = \frac{I \cos \theta}{d^2} = \frac{P}{4\pi} \cdot \frac{l}{(l^2 + h^2)^{3/2}}$$

По условию пластинка находится очень близко к оптической оси ($h \ll l$). Это позволяет пренебречь слагаемым $h^2$ в знаменателе:
$$E_L \approx \frac{Pl}{4\pi (l^2)^{3/2}} = \frac{Pl}{4\pi l^3} = \frac{P}{4\pi l^2}$$

2. Освещенность правой стороны пластинки ($E_R$)

На правую сторону падает свет, отраженный от сферического зеркала. Фокусное расстояние зеркала $f = \frac{R}{2}$. Поскольку источник находится строго в фокусе, после отражения формируется пучок лучей, параллельных главной оптической оси.

Для строгого вывода освещенности в таком пучке рассмотрим малый телесный угол $d\Omega$, в пределах которого источник излучает световой поток $d\Phi = I d\Omega$. Из геометрии параксиальных лучей площадь поперечного сечения отраженного параллельного пучка $dS$ связана с телесным углом соотношением $dS = f^2 d\Omega$.

Тогда освещенность отраженного пучка постоянна во всем его сечении и равна:
$$E_R = \frac{d\Phi}{dS} = \frac{I d\Omega}{f^2 d\Omega} = \frac{I}{f^2} = \frac{P}{4\pi f^2}$$

Подставляя фокусное расстояние сферического зеркала $f = \frac{R}{2}$, получаем:
$$E_R = \frac{P}{4\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{P}{\pi R^2}$$

(Пластинка не перекрывает свет, идущий от источника к зеркалу, так как $h > 0$, но условие $h \ll R$ позволяет считать отраженные лучи строго параксиальными).

3. Отношение освещенностей

Разделим освещенность левой стороны на освещенность правой:
$$\frac{E_L}{E_R} = \frac{\frac{P}{4\pi l^2}}{\frac{P}{\pi R^2}} = \frac{\pi R^2}{4\pi l^2} = \frac{R^2}{4l^2} = \left(\frac{R}{2l}\right)^2$$