New solution
ru/12.1.13.md
+34 −0
| @@ -0,0 +1,34 @@ | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $12.1.13.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | ### Условие | ||
| + | |||
| + | $12.1.13^\ast$. Заряженный плоский конденсатор раскачивают, перемещая его параллельно пластинам. С увеличением частоты колебаний $\nu$ средняя интенсивность $I$ излучаемых конденсатором электромагнитных волн сначала увеличивается, потом уменьшается до нуля, затем опять увеличивается и т.д. Чем объясняется такое чередование интенсивности излучения? При каких частотах конденсатор не излучает энергию? Оцените частоту, при которой наблюдаются 1-й и $k$-й максимумы излучения. | ||
| + | |||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | Представим пластины конденсатора как две плоскости с поверхностными зарядами $+\sigma$ и $-\sigma$. При движении со скоростью $v(t)$ они создают поверхностные токи $j_1 = \sigma v(t)$ и $j_2 = -\sigma v(t)$. | ||
| + | Поскольку заряды противоположны, токи направлены в противоположные стороны, а значит, излучаемые ими электромагнитные волны имеют начальную разность фаз $\pi$ (находятся в противофазе). | ||
| + | |||
| + | Для далекого наблюдателя, находящегося на линии, перпендикулярной пластинам, волны от двух пластин проходят разные расстояния. Разность хода равна расстоянию между пластинами $d$. | ||
| + | Эта разность хода создает дополнительную разность фаз $\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}d = \frac{2\pi\nu d}{c}$. | ||
| + | |||
| + | Интенсивность излучения при наложении этих двух волн определяется интерференцией. Так как волны исходно в противофазе, полная разность фаз равна $\Phi = \pi + \frac{2\pi\nu d}{c}$. | ||
| + | Интерференция будет <b>деструктивной</b> (интенсивность равна нулю), когда запаздывание на расстояние $d$ в точности компенсирует противофазность источников. Математически интенсивность пропорциональна $\sin^2\left(\frac{\pi\nu d}{c}\right)$. Конденсатор <b>не излучает</b>, когда этот множитель равен нулю: | ||
| + | $$\frac{\pi\nu d}{c} = k\pi \implies \nu_k = k\frac{c}{d}, \quad \text{где } k = 1, 2, 3, \dots$$ | ||
| + | |||
| + | Интерференция будет <b>конструктивной</b> (максимумы интенсивности), когда на расстоянии $d$ укладывается нечетное число полуволн, что усиливает противофазные источники: | ||
| + | $$\frac{\pi\nu d}{c} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\pi \implies \nu_k \approx \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{c}{d}, \quad \text{где } k = 1, 2, 3, \dots$$ | ||
| + | Для 1-го максимума ($k=1$): $\nu_1 \approx \frac{c}{2d}$. | ||
| + | |||
| + | <i>Примечание: Чередование объясняется интерференцией волн от двух пластин. То, что максимумы на графике становятся выше, связано с тем, что интенсивность излучения самого ускоренно движущегося заряда растет пропорционально квадрату частоты ($\nu^2$).</i> | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | Не излучает при $\nu = k\frac{c}{d}$; максимумы при $\nu_k \approx \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{c}{d}$, где $k = 1, 2, 3, \dots$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -0,0 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $12.1.13.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| ### Условие | |||
| $12.1.13^\ast$. Заряженный плоский конденсатор раскачивают, перемещая его параллельно пластинам. С увеличением частоты колебаний $\nu$ средняя интенсивность $I$ излучаемых конденсатором электромагнитных волн сначала увеличивается, потом уменьшается до нуля, затем опять увеличивается и т.д. Чем объясняется такое чередование интенсивности излучения? При каких частотах конденсатор не излучает энергию? Оцените частоту, при которой наблюдаются 1-й и $k$-й максимумы излучения. | |||
| ### Решение | |||
| Представим пластины конденсатора как две плоскости с поверхностными зарядами $+\sigma$ и $-\sigma$. При движении со скоростью $v(t)$ они создают поверхностные токи $j_1 = \sigma v(t)$ и $j_2 = -\sigma v(t)$. | |||
| Поскольку заряды противоположны, токи направлены в противоположные стороны, а значит, излучаемые ими электромагнитные волны имеют начальную разность фаз $\pi$ (находятся в противофазе). | |||
| Для далекого наблюдателя, находящегося на линии, перпендикулярной пластинам, волны от двух пластин проходят разные расстояния. Разность хода равна расстоянию между пластинами $d$. | |||
| Эта разность хода создает дополнительную разность фаз $\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}d = \frac{2\pi\nu d}{c}$. | |||
| Интенсивность излучения при наложении этих двух волн определяется интерференцией. Так как волны исходно в противофазе, полная разность фаз равна $\Phi = \pi + \frac{2\pi\nu d}{c}$. | |||
| Интерференция будет <b>деструктивной</b> (интенсивность равна нулю), когда запаздывание на расстояние $d$ в точности компенсирует противофазность источников. Математически интенсивность пропорциональна $\sin^2\left(\frac{\pi\nu d}{c}\right)$. Конденсатор <b>не излучает</b>, когда этот множитель равен нулю: | |||
| $$\frac{\pi\nu d}{c} = k\pi \implies \nu_k = k\frac{c}{d}, \quad \text{где } k = 1, 2, 3, \dots$$ | |||
| Интерференция будет <b>конструктивной</b> (максимумы интенсивности), когда на расстоянии $d$ укладывается нечетное число полуволн, что усиливает противофазные источники: | |||
| $$\frac{\pi\nu d}{c} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\pi \implies \nu_k \approx \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{c}{d}, \quad \text{где } k = 1, 2, 3, \dots$$ | |||
| Для 1-го максимума ($k=1$): $\nu_1 \approx \frac{c}{2d}$. | |||
| <i>Примечание: Чередование объясняется интерференцией волн от двух пластин. То, что максимумы на графике становятся выше, связано с тем, что интенсивность излучения самого ускоренно движущегося заряда растет пропорционально квадрату частоты ($\nu^2$).</i> | |||
| #### Ответ | |||
| Не излучает при $\nu = k\frac{c}{d}$; максимумы при $\nu_k \approx \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{c}{d}$, где $k = 1, 2, 3, \dots$ | |||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||