Решение

Условие

$12.1.14^\ast$. Заряженная пластина, напряженность электрического поля которой $E$, двигаясь параллельно самой себе со скоростью $v$, создает магнитное поле индукции $B = (v/c^2)E$. Поэтому при уменьшении скорости пластины на величину $dv$ в окружающем ее пространстве возникает «лишнее» магнитное «микрополе» индукции $dB = \pm (dv/c^2)E$. Суммируясь, эти «микрополя» дают электромагнитную волну, напряженность электрического поля которой зависит лишь от скорости пластины:
$$E_{\text{изл}}(t, x) = c B_{\text{изл}}(t, x) = (c v_{t-x/c}/c^2)E = (v_{t-x/c}/c)E.$$
Индекс $t - x/c$ означает, что при вычислении напряженности поля на расстоянии $x$ от пластины значение ее скорости нужно брать в момент времени $t - x/c$.
Докажите справедливость формулы $E_{\text{изл}}(t, x) = (v_{t-x/c}/c)E$ для случая, когда скорость $v$ меняется так, как изображено на рисунках (б и в).

Решение

Докажем формулу, используя базовые законы электродинамики.

1. Статическое электрическое поле бесконечной заряженной пластины направлено по нормали к ней (вдоль оси $x$) и равно $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

2. Когда пластина начинает двигаться параллельно самой себе со скоростью $v(t)$, она создает поверхностный ток $K(t) = \sigma v(t)$.

3. Этот поверхностный ток порождает вблизи пластины (при $x \to 0$) магнитное поле, индукция которого по закону Ампера равна:
   $$B(0, t) = \frac{\mu_0 K(t)}{2} = \frac{\mu_0 \sigma v(t)}{2}$$
   Умножив числитель и знаменатель на $\varepsilon_0$ и учитывая, что $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$, а $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, получаем граничное условие для магнитного поля у поверхности пластины:
   $$B(0, t) = \mu_0 \varepsilon_0 v(t) \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{v(t)}{c^2} E$$

4. Любое изменение этого магнитного поля (вызванное изменением скорости) отрывается от пластины и распространяется в пространстве в виде плоской электромагнитной волны со скоростью света $c$. Следовательно, поле на расстоянии $x$ в момент времени $t$ в точности повторяет поле у пластины, но с запаздыванием на время $\Delta t = x/c$:
   $$B(x, t) = B(0, t - x/c) = \frac{v(t - x/c)}{c^2} E$$

5. В бегущей плоской электромагнитной волне поперечная напряженность электрического поля $E_{\text{изл}}$ (которая направлена параллельно пластине) и магнитная индукция $B$ жестко связаны соотношением $E_{\text{изл}} = c B$.

6. Подставляя сюда найденное выражение для $B(x, t)$, приходим к требуемой формуле:
   $$E_{\text{изл}}(t, x) = c \cdot \frac{v(t - x/c)}{c^2} E = \frac{v(t - x/c)}{c} E$$

Применение к графикам (б) и (в):
Выведенная формула имеет универсальный характер, так как волновое уравнение линейно, а граничное условие $B(0,t)$ напрямую отслеживает любую функцию $v(t)$.
* Для графика (б): скорость ступенчато падает от $v_0$ до $0$ в момент $t_0$. В пространстве это будет выглядеть как волновой фронт, за которым (ближе к пластине) поперечное поле $E_{\text{изл}}$ равно нулю, а перед которым оно равно $\frac{v_0}{c}E$. Этот фронт обрыва удаляется от пластины со скоростью $c$.
* Для графика (в): скорость ступенчато возрастает от $0$ до $v_0$ в момент $t_0$. Это породит фронт волны, за которым устанавливается однородное поперечное поле $E_{\text{изл}} = \frac{v_0}{c}E$, распространяющееся вслед за фронтом со скоростью $c$.
В обоих случаях формула $\frac{v_{t-x/c}}{c}E$ дает точное мгновенное значение излученного поля в любой точке пространства.