New solution

Valter edited
View solution History
revision #20642 newer →
ru/6.5.3.md +48 −0
@@ -0,0 +1,48 @@
+### Условие
+
+$6.5.3.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$6.5.3.$ Чему равна поверхностная плотность заряда и электрическое давление на границе раздела двух полей напряженности $E$ и $2E$? $E$ и $-2E$? Поверхностная плотность заряда во втором случае в три раза больше. Почему же электрическое давление в обоих случаях одинаково?
+
+### Решение
+
+Запишем граничные условия для нормальных компонент вектора электрического смещения (индукции):
+$$D_{2n} - D_{1n} = \sigma$$
+где $\sigma$ — поверхностная плотность свободного заряда на границе.
+Поскольку $D = \varepsilon_0 E$, для первого случая ($E_1 = E$, $E_2 = 2E$) имеем:
+$$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (2E) - \varepsilon_0 E = \varepsilon_0 E$$
+
+Для нахождения давления рассмотрим тонкий цилиндрический слой на границе раздела сред. Выделим участок поверхности с зарядом $\Delta q = \sigma \Delta S$. Поле, создаваемое самим этим участком, обозначим $E_0$, а поле всех остальных зарядов системы (внешнее поле) — $E_0'$.
+Согласно принципу суперпозиции, полные поля по обе стороны от границы равны:
+$$E_2 = E_0' + E_0 = 2E$$
+$$E_1 = E_0' - E_0 = E$$
+Складывая эти уравнения, найдем внешнее поле $E_0'$:
+$$2E_0' = 3E \implies E_0' = \frac{3}{2}E$$
+Сила, действующая на выделенный участок:
+$$\Delta F = \sigma \Delta S E_0'$$
+Электрическое давление на границу раздела:
+$$P = \frac{\Delta F}{\Delta S} = \sigma E_0' = (\varepsilon_0 E)\left(\frac{3}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$
+
+Рассмотрим второй случай ($E_1 = E$, $E_2 = -2E$):
+$$\sigma = \varepsilon_0 E_2 - \varepsilon_0 E_1 = \varepsilon_0 (-2E) - \varepsilon_0 E = -3\varepsilon_0 E$$
+Внешнее поле в этом случае:
+$$E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{E - 2E}{2} = -\frac{1}{2}E$$
+Давление:
+$$P = \sigma E_0' = (-3\varepsilon_0 E)\left(-\frac{1}{2}E\right) = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$$
+
+<b>Почему давление одинаково?</b>
+Мы можем получить общую формулу для давления $P$, используя аналогичные рассуждения. Подставляя $E_0' = \frac{E_1 + E_2}{2}$ и $\sigma = \varepsilon_0(E_2 - E_1)$:
+$$P = \sigma E_0' = \varepsilon_0(E_2 - E_1)\frac{E_1 + E_2}{2} = \frac{\varepsilon_0(E_2^2 - E_1^2)}{2}$$
+Из полученного выражения видно, что давление зависит от квадратов напряженностей поля. Поэтому изменение знака $E_2$ не влияет на величину давления.
+
+#### Ответ
+а) $\sigma = \varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$
+б) $\sigma = -3\varepsilon_0 E$; $P = \frac{3\varepsilon_0 E^2}{2}$
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]