Решение

а) Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $x$ от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: $E(x) \propto 1/x$. Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе.
Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент $\vec{p}$, сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила:
$$F_x = p \frac{\partial E}{\partial x}$$
Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент $\partial E / \partial x < 0$. Это означает, что вектор силы направлен против оси $x$, то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются к нити.

б) Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса $R$ в однородное внешнее поле $\vec{E}_0$. Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле:
$$\vec{E}_{\text{депол}} = -\frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
где $\vec{P}$ — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей:
$$\vec{E}_{\text{вн}} = \vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}$$
По определению поляризованности линейного диэлектрика:
$$\vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_{\text{вн}} = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\left(\vec{E}_0 - \frac{\vec{P}}{3\varepsilon_0}\right)$$
Выразим отсюда вектор поляризованности:
$$\vec{P} \left( 1 + \frac{\varepsilon - 1}{3} \right) = \varepsilon_0(\varepsilon - 1)\vec{E}_0 \implies \vec{P} = 3\varepsilon_0 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \vec{E}_0$$
Полный дипольный момент пылинки $p$ равен произведению поляризованности на объем шара $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$$p = P \cdot V = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0$$
Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту ($F \propto p$), она зависит от проницаемости как:
$$F \propto \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}$$
Запишем отношение сил для двух пылинок:
$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{\varepsilon_2 - 1}{\varepsilon_2 + 2}}{\frac{\varepsilon_1 - 1}{\varepsilon_1 + 2}}$$
Отсюда находим искомую силу:
$$F_2 = F_1 \frac{(\varepsilon_2 - 1)(\varepsilon_1 + 2)}{(\varepsilon_1 - 1)(\varepsilon_2 + 2)}$$

в) Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов $V$, радиус нити $r_0$ и радиус трубы $R_0$:
$$E(x) = \frac{V}{x \ln(R_0/r_0)}$$
Поскольку $p = \alpha E$ (где $\alpha$ — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде:
$$F = p \frac{\partial E}{\partial x} = \alpha E \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{1}{2}\alpha \frac{\partial (E^2)}{\partial x}$$
Подставим функцию поля $E(x)$:
$$E^2 = \frac{V^2}{x^2 \ln^2(R_0/r_0)} \implies \frac{\partial (E^2)}{\partial x} = -\frac{2V^2}{x^3 \ln^2(R_0/r_0)}$$
Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния:
$$F \propto V^2; \quad F \propto \frac{1}{x^3}$$

г*) Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):
$$p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} E_0 \implies p \propto R^3$$
При одинаковом материале ($\varepsilon$) и одинаковом положении в пространстве ($E$ и $\partial E/\partial x$ равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента:
$$F \propto p \propto R^3$$
Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок:
$$\frac{F_R}{F_r} = \frac{R^3}{r^3}$$