Электростатика > Электрическое поле при наличии диэлектрика > Задача 6.6.15

Условие

Электрофильтр состоит из длинной металлической трубы и нити, направленной вдоль оси. Между ними создается разность потенциалов . По трубе пропускают воздух с пылью.
а. К какому электроду — к нити или к трубе — притягиваются пылинки?
б. Чему равна сила, действующая на пылинку с диэлектрической проницаемостью , если сила, действующая на пылинку такого же радиуса, но с диэлектрической проницаемостью , равна ? Обе пылинки одинаково удалены от нити.
в. Как зависит сила притяжения от разности потенциалов? от расстояния до нити?
г*. Во сколько раз сила, действующая на пылинку радиуса , больше силы, действующей на пылинку радиуса ? Диэлектрическая проницаемость пылинок одинакова, и они находятся на одинаковом расстоянии от нити.

Решение

а) Найдем распределение электрического поля внутри электрофильтра. Система представляет собой цилиндрический конденсатор. По теореме Гаусса напряженность электрического поля на расстоянии от оси нити обратно пропорциональна этому расстоянию: . Таким образом, поле максимально вблизи нити и убывает по мере приближения к трубе.
Пылинка изначально электрически нейтральна, однако во внешнем поле она поляризуется, приобретая наведенный дипольный момент , сонаправленный с полем. На диполь в неоднородном поле действует сила:

Поскольку поле убывает с расстоянием, градиент . Это означает, что вектор силы направлен против оси , то есть втягивает пылинку в область более сильного поля. Следовательно, пылинки всегда притягиваются к нити.

б) Найдем зависимость индуцированного дипольного момента от диэлектрической проницаемости. Поместим диэлектрический шар (пылинку) радиуса в однородное внешнее поле . Поляризация приводит к появлению на поверхности связанных зарядов, которые создают внутри шара деполяризующее поле:

где — вектор поляризованности. Истинное поле внутри шара равно сумме полей:

По определению поляризованности линейного диэлектрика:

Выразим отсюда вектор поляризованности:

Полный дипольный момент пылинки равен произведению поляризованности на объем шара :

Так как втягивающая сила пропорциональна дипольному моменту (), она зависит от проницаемости как:

Запишем отношение сил для двух пылинок:

Отсюда находим искомую силу:

в) Напряженность поля цилиндрического конденсатора выражается через разность потенциалов , радиус нити и радиус трубы :

Поскольку (где — константа пылинки, найденная в пункте б), силу можно переписать в виде:

Подставим функцию поля :

Отсюда видно, что по модулю сила притяжения прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна кубу расстояния:

г*) Как было строго выведено в пункте (б), индуцированный дипольный момент шара прямо пропорционален его объему (кубу радиуса):

При одинаковом материале () и одинаковом положении в пространстве ( и равны), втягивающая сила зависит исключительно от дипольного момента:

Следовательно, отношение сил равно отношению кубов радиусов пылинок:

Ответ

а. К нити

б.

в. ,

г. В раз