Решение

1. Анализ огибающей и определение амплитуд
Данный график иллюстрирует классическое явление биений, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ($\omega_1\approx\omega_2$). Общее уравнение движения можно записать как:
$$x(t)=a_1\sin(\omega_1t)+a_2\sin(\omega_2t)$$

Исследуя график, мы можем выделить максимальную и минимальную амплитуды огибающей:
— Максимум огибающей ($A$): Возникает при конструктивной интерференции (колебания в фазе):
$$A_{\max}=a_1+a_2=A$$
— Минимум огибающей (узкое «горлышко» $B$): Возникает при деструктивной интерференции (колебания в противофазе):
$$A_{\min}=|a_1-a_2|=B$$

Решая эту простую алгебраическую систему, найдем амплитуды исходных колебаний $a_1$ и $a_2$ (полагая $a_1>a_2$):
$$a_1=\frac{A+B}{2}, \quad a_2=\frac{A-B}{2}$$

2. Анализ периодов и определение частот
Из графика мы можем определить два временных интервала:
— Период быстрых колебаний ($\tau$): Это время одного полного цикла внутреннего высокочастотного колебания (несущей частоты). Оно связано со средней частотой двух складываемых колебаний:
$$\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{avg}}}=\frac{4\pi}{\omega_1+\omega_2}$$

— Период биений ($T$): Это интервал времени между двумя последовательными узлами (или пучностями) огибающей. Он определяется разностью частот:
$$T=\frac{2\pi}{\omega_{\text{beat}}}=\frac{2\pi}{|\omega_1-\omega_2|}$$

3. Изоляция $\omega_1$ и $\omega_2$
Из полученных периодов мы можем составить систему для суммы и разности частот:
$$\omega_1+\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}$$
$$\omega_1-\omega_2=\frac{2\pi}{T}$$

Сложив уравнения и разделив на 2, получим $\omega_1$:
$$2\omega_1=\frac{4\pi}{\tau}+\frac{2\pi}{T} \implies \omega_1=\pi\left(\frac{2}{\tau}+\frac{1}{T}\right)$$

Вычтя второе уравнение из первого, найдем $\omega_2$:
$$2\omega_2=\frac{4\pi}{\tau}-\frac{2\pi}{T} \implies \omega_2=\pi\left(\frac{2}{\tau}-\frac{1}{T}\right)$$

Если требуются циклические (линейные) частоты $f=\frac{\omega}{2\pi}$, то формулы принимают вид:
$$f_1=\frac{1}{\tau}+\frac{1}{2T}, \quad f_2=\frac{1}{\tau}-\frac{1}{2T}$$