Решение

Задачу решим как $3.8.12$ методом рассмотрения волн сжатия и растяжения скоростей частиц $v/2$ циркулирующих в левом стержне через коэффициенты прохождения и отражения через границу сред.

По принципу решения той задачи при падении из среды $1$ в $2$:

• коэффициент прохождения волны

$$\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}} = \frac{v_{\text{пр}}}{v_{\text{п}}} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2},$$

• коэффициент отражения волны

$$\underset{1\to 2}{k_{\text{от}}} = \frac{v_{\text{от}}}{v_{\text{п}}} = \frac{c_1 - c_2}{c_1 + c_2}.$$

Предположим, что стержень $2$ отсоединится, когда напряжения в нем не будет. Тогда его скорость частиц это наложение двух волн пройденных со скоростями частиц $\underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}\vec v/2$.

В этот момент скорость стержня $2$

$$\boxed{V_2 = \underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}v_1 = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}v,}$$

а скорость в стержне $1$ еще не установилась постоянной на всем протяжении стержня, что следует из большего времени заполнения данной волной стержня $1$.

Сцепление

Проверим сцепление стержней после удара, как это было сделано в Дополнении к решению задачи $3.8.12$.

Методом наложения волн скорости после касания скорость частиц в зоне в близи границы у стержня $2$

$$V_2' = \underset{1\to 2}{k_{\text{пр}}}\frac{v}{2} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}\frac{v}{2},$$

скорость частиц стержня $1$ в такой зоне

$$V_1' = \underset{1\to 2}{k_{\text{от}}}\frac{v}{2} + \frac{v}{2} = \frac{2c_1}{c_1 + c_2}\frac{v}{2}.$$

Скорости равны, значит, стержни сцеплены после касания.

Отсоединение

Действительно, в момент обнуления напряжения в стержне $2$, как было отмечено, скорость его частиц в зоне у границы не равна скорости частиц в стержне $1$ у этой зоны.

$$V_2 \neq V_1'$$

(в этот момент скорость частиц стержня $1$ у границы, как можно показать волнами скорости остается такой же, как после касания).

Далее по ЗСИ.

$$m_1v = m_1V_1 + m_2V_2,$$

откуда скорость центра масс первого

$$\boxed{V_1 = v\left(1 - \frac{l_2}{l_1}\frac{2c_1}{c_1 + c_2}\right).}$$

Проверка на частный случай двух одинаковых тел, когда одно сталкивается с неподвижным так же проходит (решение дает обмен скоростью, как в простой динамике).