Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

igor edited Sep 13, 2026, 4:52 PM

View solution History

revision #20689 parent #20687 ← older

ru/3.8.16.md +37 −3

		@@ -1,11 +1,45 @@
			### Условие

		−	$3.8.16.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.8.16.$ Чтобы увеличить коэффициент прохождения волны, принимаемой пьезодатчиком, его подсоединяют к исследуемой среде через специальную прокладку. Плотность и скорость звука в исследуемой среде равны соответственно $\rho_1$ и $c_1$, плотность и скорость звука в прокладке и кристалле пьезодатчика равны соответственно $\rho, c$ и $ρ_2, c_2$. Пусть

		+	$$
		+	\frac{\rho_1c_1}{\rho c} = \frac{\rho c}{\rho_2 c_2} = 4.
		+	$$
		+
		+	Сравните по мощности сигналы, поступающие к датчику с прокладкой и без нее, если длительность сигнала меньше времени прохождения им прокладки.
		+
		+	![К задаче $3.8.16$\|678x664, 50%](../../img/3.8.16/3816.png)
		+
		+
			### Решение

		−	11
		+	Сначала выведем коэффициент прохождения по энергии. Это сделано должно быть в задаче $3.8.15$. Также это нестандартно можно сделать методом коэффициентов по скорости, про которые было сказано в задаче $3.8.12$.

		+	Коэффициент прохождения из среды $i$ в $k$:
		+
		+	$$
		+	\underset{i\to k}{D} = \frac{4\rho_ic_i\rho_kc_k}{\left(\rho_ic_i + \rho_kc_k\right)^2}.
		+	$$
		+
		+	Далее только первый пройденный импульс в среду $2$ рассматриваем, наложение при отражениях внутри прокладки на него в среде $2$ считаем не происходит.
		+
		+	Без прокладки с учетом условия:
		+
		+	$$
		+	\underset{1\to 2}{D} = \frac{4\cdot 16}{17\cdot 17} \approx 0{,}25.
		+	$$
		+
		+	C прокладкой ясно
		+
		+	$$
		+	\underset{1\to 2}{D^*} = \underset{0\to 2}{D}\cdot\underset{1\to 0}{D} = \frac{16\cdot 16}{25\cdot 25} \approx 0{,}41.
		+	$$
		+
		+	Ср. ответ по изданиям 1981 г и 2008 г. Задача переходит в исследовательскую (см. ответ).
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	<b>По изданию 1981 г.</b> Наличие прокладки увеличивает проходящую мощность с $0,25$ до $0,41$ падающей. Появятся еще «эхо-сигналы» с интервалом времени $2l/c$, мощность которых убывает в геометрической прогрессии. При протяженном падающем сигнале, например синусоидальном, «эхо-сигналы» налагаются, тогда подбором толщины $l$ прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения.
		+
		+	<b>По изданию 2008 г.</b> При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчиком, увеличивается от $0{,}25$ до $0{,}41$. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следующие друг за другом с интервалом $2l/c$, мощность которых убывает в геометрической прогрессии. При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогда подбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сигнала.

	@@ -1,11 +1,45 @@
	### Условие		### Условие

	$3.8.16.$ [Вставьте условие задачи]		$3.8.16.$ Чтобы увеличить коэффициент прохождения волны, принимаемой пьезодатчиком, его подсоединяют к исследуемой среде через специальную прокладку. Плотность и скорость звука в исследуемой среде равны соответственно $\rho_1$ и $c_1$, плотность и скорость звука в прокладке и кристалле пьезодатчика равны соответственно $\rho, c$ и $ρ_2, c_2$. Пусть

			$$
			\frac{\rho_1c_1}{\rho c} = \frac{\rho c}{\rho_2 c_2} = 4.
			$$

			Сравните по мощности сигналы, поступающие к датчику с прокладкой и без нее, если длительность сигнала меньше времени прохождения им прокладки.

			![К задаче $3.8.16$\|678x664, 50%](../../img/3.8.16/3816.png)


	### Решение		### Решение

	11		Сначала выведем коэффициент прохождения по энергии. Это сделано должно быть в задаче $3.8.15$. Также это нестандартно можно сделать методом коэффициентов по скорости, про которые было сказано в задаче $3.8.12$.

			Коэффициент прохождения из среды $i$ в $k$:

			$$
			\underset{i\to k}{D} = \frac{4\rho_ic_i\rho_kc_k}{\left(\rho_ic_i + \rho_kc_k\right)^2}.
			$$

			Далее только первый пройденный импульс в среду $2$ рассматриваем, наложение при отражениях внутри прокладки на него в среде $2$ считаем не происходит.

			Без прокладки с учетом условия:

			$$
			\underset{1\to 2}{D} = \frac{4\cdot 16}{17\cdot 17} \approx 0{,}25.
			$$

			C прокладкой ясно

			$$
			\underset{1\to 2}{D^*} = \underset{0\to 2}{D}\cdot\underset{1\to 0}{D} = \frac{16\cdot 16}{25\cdot 25} \approx 0{,}41.
			$$

			Ср. ответ по изданиям 1981 г и 2008 г. Задача переходит в исследовательскую (см. ответ).


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		<b>По изданию 1981 г.</b> Наличие прокладки увеличивает проходящую мощность с $0,25$ до $0,41$ падающей. Появятся еще «эхо-сигналы» с интервалом времени $2l/c$, мощность которых убывает в геометрической прогрессии. При протяженном падающем сигнале, например синусоидальном, «эхо-сигналы» налагаются, тогда подбором толщины $l$ прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения.

			<b>По изданию 2008 г.</b> При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчиком, увеличивается от $0{,}25$ до $0{,}41$. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следующие друг за другом с интервалом $2l/c$, мощность которых убывает в геометрической прогрессии. При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогда подбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сигнала.