Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.8.18.md
+70 −3
| @@ -1,11 +1,78 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.8.18.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.8.18^*.$ На стенку (см. задачу $3.8.17$) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, прошедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максимальной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна? | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | 11 | ||
| + | Это прямое продолжение задачи $3.8.17$. В той задаче получили, что на выходе единичный входной сигнал дает ряд равноотстоящих друг отдруга эхо-сигналов. Остается накладывать на них следующие входные сигналы. | ||
| + | Это получится, когда каждый следующий входной сигнал будет достигать левой границы (входная) одновременно с приходящим отраженным от правой границы сигналом внутри стены. Два отражения единичного сигнала внутри стены восстанавливают форму бегущей синусоиды как входной сигнал и очередной входной накладывается синфазно с отраженным от левой границы. | ||
| + | |||
| + | Поэтому следовать входные должны на межсоседнем расстоянии | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | L = c_1\frac{2l}{c_2}. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы была видна последовательность сделаем полностью как в задаче $3.8.17$ через так называемые циклы. Произведения $\rho_1c_1,\rho_2c_2$ обозначаем $x_1,x_2$. | ||
| + | |||
| + | - Цикл $0$. Особенный цикл. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала | ||
| + | $$ | ||
| + | A_2^{(0)} = A\cdot\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}. | ||
| + | $$ | ||
| + | где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично. | ||
| + | - Цикл $1$. Волна проходит снова в среду $1$ двигаясь в ту же сторону: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{A_1^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.} | ||
| + | $$ | ||
| + | И генерируется отраженная в том месте в обратную сторону двигающаяся с амплитудой | ||
| + | $$ | ||
| + | A_2^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} = A\frac{2x_1\left(x_2 - x_1\right)}{\left(x_1 + x_2\right)^2}. | ||
| + | $$ | ||
| + | На левой границе опять генерируется отраженная, двигающаяся уже как изначальная и на нее накладывается очередная проходящая входная: | ||
| + | $$ | ||
| + | A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}= A_2^{(1)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} + A_2^{(0)} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | - Цикл $2$. Сигнал с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале цикла $1$. | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{A_1^{(2)} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).} | ||
| + | $$ | ||
| + | Далее еще отражение сигнала с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ от правой границы, потом отражение от левой отраженного при таких же условиях и наложение очередной проходящей: | ||
| + | $$ | ||
| + | A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + A_2^{(0)} = A\frac{2x_2}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right) | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | - Цикл $3$. Сигнал с $A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале обычного цикла. | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{A_1^{(3)} = A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right).} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Смотрим на формулы в рамках и видим, что проходящая выходная амплитуда растет по убывающей геометрической прогрессии. | ||
| + | |||
| + | На бесконечном цикле (используем формулу суммы для бесконечно убывающей прогрессии) | ||
| + | $$ | ||
| + | A_1^{(\infty)} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\frac{1}{1 - \dfrac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}}, | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | что после упрощения дает | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{A_1^{(\infty)} = A.} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Амплитуда $A_2^{(\infty)}$ будет максимальной среди последовательных выходных, тогда отношение максимальной амплитуды из этих сигналов к амплитуде падающего сигнала равно | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1.} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Синусоидальную волну можно рассматривать как непрерывное множество последовательностей сигналов с межсоседним расстоянием $L$, тогда ответ не изменится. | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | L = c_1\frac{2l}{c_2}. \quad \frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1. \quad \text{Нет}. | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,11 +1,78 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.8.18.$ [Вставьте условие задачи] | $3.8.18^*.$ На стенку (см. задачу $3.8.17$) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, прошедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максимальной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| 11 | Это прямое продолжение задачи $3.8.17$. В той задаче получили, что на выходе единичный входной сигнал дает ряд равноотстоящих друг отдруга эхо-сигналов. Остается накладывать на них следующие входные сигналы. | ||
| Это получится, когда каждый следующий входной сигнал будет достигать левой границы (входная) одновременно с приходящим отраженным от правой границы сигналом внутри стены. Два отражения единичного сигнала внутри стены восстанавливают форму бегущей синусоиды как входной сигнал и очередной входной накладывается синфазно с отраженным от левой границы. | |||
| Поэтому следовать входные должны на межсоседнем расстоянии | |||
| $$ | |||
| L = c_1\frac{2l}{c_2}. | |||
| $$ | |||
| Чтобы была видна последовательность сделаем полностью как в задаче $3.8.17$ через так называемые циклы. Произведения $\rho_1c_1,\rho_2c_2$ обозначаем $x_1,x_2$. | |||
| - Цикл $0$. Особенный цикл. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала | |||
| $$ | |||
| A_2^{(0)} = A\cdot\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}. | |||
| $$ | |||
| где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично. | |||
| - Цикл $1$. Волна проходит снова в среду $1$ двигаясь в ту же сторону: | |||
| $$ | |||
| \boxed{A_1^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.} | |||
| $$ | |||
| И генерируется отраженная в том месте в обратную сторону двигающаяся с амплитудой | |||
| $$ | |||
| A_2^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} = A\frac{2x_1\left(x_2 - x_1\right)}{\left(x_1 + x_2\right)^2}. | |||
| $$ | |||
| На левой границе опять генерируется отраженная, двигающаяся уже как изначальная и на нее накладывается очередная проходящая входная: | |||
| $$ | |||
| A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}= A_2^{(1)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} + A_2^{(0)} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right). | |||
| $$ | |||
| - Цикл $2$. Сигнал с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале цикла $1$. | |||
| $$ | |||
| \boxed{A_1^{(2)} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).} | |||
| $$ | |||
| Далее еще отражение сигнала с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ от правой границы, потом отражение от левой отраженного при таких же условиях и наложение очередной проходящей: | |||
| $$ | |||
| A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + A_2^{(0)} = A\frac{2x_2}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right) | |||
| $$ | |||
| - Цикл $3$. Сигнал с $A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале обычного цикла. | |||
| $$ | |||
| \boxed{A_1^{(3)} = A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right).} | |||
| $$ | |||
| Смотрим на формулы в рамках и видим, что проходящая выходная амплитуда растет по убывающей геометрической прогрессии. | |||
| На бесконечном цикле (используем формулу суммы для бесконечно убывающей прогрессии) | |||
| $$ | |||
| A_1^{(\infty)} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\frac{1}{1 - \dfrac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}}, | |||
| $$ | |||
| что после упрощения дает | |||
| $$ | |||
| \boxed{A_1^{(\infty)} = A.} | |||
| $$ | |||
| Амплитуда $A_2^{(\infty)}$ будет максимальной среди последовательных выходных, тогда отношение максимальной амплитуды из этих сигналов к амплитуде падающего сигнала равно | |||
| $$ | |||
| \boxed{\frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1.} | |||
| $$ | |||
| Синусоидальную волну можно рассматривать как непрерывное множество последовательностей сигналов с межсоседним расстоянием $L$, тогда ответ не изменится. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$ | ||
| L = c_1\frac{2l}{c_2}. \quad \frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1. \quad \text{Нет}. | |||
| $$ | |||