3.6.22 | before revision #20748 | Savchenko Solutions

Условие

3.6.22. а. Область продольной деформации $\varepsilon$ движется по стержню со скоростью $$c$$ вправо. Площадь сечения стержня $$S$$ , плотность материала $\rho$ . Какова скорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенного сечения?

б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади поперечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотность потока импульса должна быть равна нормальному напряжению $\sigma$ в этом сечении? Выразив $\sigma$ через деформацию, определите отсюда $$c$$ через $$E$$ и $\rho$ .

Решение

Пункт а

Видим сжатие, значит, численно по соглашению $\varepsilon < 0$ .

Прирост импульса $$dp$$ справа за время $$dt$$ при перемещении возмущения вправо

$dp = Sc\,dt\rho v,$

где $$v$$ есть скорость частиц в возмущении.

Значит,

$\frac{dp}{dt} = Sc\rho v.\tag{1}$

В бегущей

$с$$\sigma = \rho сv,$$$

$\sigma = -E \varepsilon,$

где $$E$$ есть модуль Юнга.

Предыдущие две формулы в $$(1)$$

$\frac{dp}{dt} = -\rho c^2\varepsilon S.$

Пункт б

Нормальное напряжение меняет импульс единицы площади за малое время по второму закону Ньютона.

С учетом пункта а

$с$$с = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$$

Литература

[1] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)

Ответ

а.

$с$$\frac{dp}{dt} = \rho с v S = -\rho c^2\varepsilon S.$$$

б.

$с$$\sigma = -E\varepsilon,\quad с = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$$$