Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/14.4.7.md
+32 −3
| @@ -1,11 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.4.7.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $14.4.7.$ Электрон, пролетая через поле неподвижного плоского конденстаора, получает поперечный импульс $p$. Скорость электрона на входе в конденсатор равна $ \beta c$ и направлена параллельно его платсинам. Какой поперечный импульс получает электрон, если, наоборот, конденсатор со скоростью -- $\beta c$ пролетает мимо первоначально подвижного электрона? Во сколько раз поперечная скорость, приобретенная электроном в первый раз, будет меньше поперечной скоррости, полученной электроном второй раз? | ||
| ### Решение | |||
| − | . | ||
| + | Пусть в собсвтенной системе отсчёта конденстаор (где он покоится) поле между пластинами равно $E$, а длина пластин (собственная) равна $l$. Отклонение электрона сичтаем малым. | ||
| + | Случай 1: | ||
| + | Электрон летит со скоростью $\beta c$ вдоль пластин неподвижного конденсатора. В его системе -- только электрическое поле $E$ (магнитного нет, конденсатор покоится). | ||
| + | Время полета: | ||
| + | $$t_1 = \frac{l}{\beta c}$$ | ||
| + | Приобретенный поперечный импульс: | ||
| + | $$ p = e E t_1 = \frac{e E l}{\beta c} \ \ (1)$$ | ||
| + | Продольная скорость электрона $( \beta c)$ много больше поперечной, поэтому полная скорость $\approx \beta c$, и | ||
| + | $$ p = \gamma m v_1, \ \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$ | ||
| + | $$ v_1 = \frac{p}{\gamma m} = \frac{p}{m} \sqrt{1- \beta^2} .$$ | ||
| + | |||
| + | Случай 2: | ||
| + | Теперь конденсатор летит со скоростью $\beta c$ мимо покоящегося электрона. Перейдем к полям в системе электрона, преобразовав поля из системы конденсатора: | ||
| + | $$ E_2 = \gamma E, \ \ B_2 = \frac{\gamma \beta E}{c}$$ | ||
| + | (поперечное электрическое поле усиливается, и появляется магнитное). | ||
| + | |||
| + | Пластины при этом испытывают лоренцево сокращение: $l_2 = \frac{l}{\gamma}$. | ||
| + | Конденсатор пролетает мимо электрона за время: | ||
| + | $$t_2 = \frac{l_2}{\beta c} = \frac{l}{\gamma \beta c} = \frac{t_1}{\gamma}$$. | ||
| + | Электрон почти неподвижен (его скорость мала - эффект малого отклонения), поэтому магнитная сила $e \mathbf{v} \times \mathbf{B}$ пренебрежима мала (она первого порядка малости от $v$), и работает практически только электрическая сила: | ||
| + | $$ F = e E_2 = \ e \gamma E$$ | ||
| + | Импульс, полученный электроном: | ||
| + | $$ p_2 = F \ t_2 = e \gamma E \cdot \frac{t_1}{\gamma} = e E t_1 = p$$ | ||
| + | То есть поперечный импульс получается точно такой же, как и в первом случае. Усиление поля (в $\gamma$ раз) в точности компенсируется сокращением времени взаимодействия ( в $\gamma$ раз). | ||
| + | Поскольку теперь электрон почти покоится ( его скорость $v_2$ -- единственная и малая составляющая полной скорости), $\gamma_2 \approx 1:$ | ||
| + | $$ p_2 \approx m v_2 \Rightarrow \ v_2 \approx \frac{p}{m}$$ | ||
| + | Сравняя скорости получаем: | ||
| + | $$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{p}{m} \sqrt{1 - \beta^2}}{\frac{p}{m}} = \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{\gamma}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | 1) Поперечный импульс во втором случае такой же: $p_2 = p$. | ||
| + | 2) $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}$ | ||
| @@ -1,11 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.4.7.$ [Вставьте условие задачи] | $14.4.7.$ Электрон, пролетая через поле неподвижного плоского конденстаора, получает поперечный импульс $p$. Скорость электрона на входе в конденсатор равна $ \beta c$ и направлена параллельно его платсинам. Какой поперечный импульс получает электрон, если, наоборот, конденсатор со скоростью -- $\beta c$ пролетает мимо первоначально подвижного электрона? Во сколько раз поперечная скорость, приобретенная электроном в первый раз, будет меньше поперечной скоррости, полученной электроном второй раз? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| . | Пусть в собсвтенной системе отсчёта конденстаор (где он покоится) поле между пластинами равно $E$, а длина пластин (собственная) равна $l$. Отклонение электрона сичтаем малым. | ||
| Случай 1: | |||
| Электрон летит со скоростью $\beta c$ вдоль пластин неподвижного конденсатора. В его системе -- только электрическое поле $E$ (магнитного нет, конденсатор покоится). | |||
| Время полета: | |||
| $$t_1 = \frac{l}{\beta c}$$ | |||
| Приобретенный поперечный импульс: | |||
| $$ p = e E t_1 = \frac{e E l}{\beta c} \ \ (1)$$ | |||
| Продольная скорость электрона $( \beta c)$ много больше поперечной, поэтому полная скорость $\approx \beta c$, и | |||
| $$ p = \gamma m v_1, \ \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$ | |||
| $$ v_1 = \frac{p}{\gamma m} = \frac{p}{m} \sqrt{1- \beta^2} .$$ | |||
| Случай 2: | |||
| Теперь конденсатор летит со скоростью $\beta c$ мимо покоящегося электрона. Перейдем к полям в системе электрона, преобразовав поля из системы конденсатора: | |||
| $$ E_2 = \gamma E, \ \ B_2 = \frac{\gamma \beta E}{c}$$ | |||
| (поперечное электрическое поле усиливается, и появляется магнитное). | |||
| Пластины при этом испытывают лоренцево сокращение: $l_2 = \frac{l}{\gamma}$. | |||
| Конденсатор пролетает мимо электрона за время: | |||
| $$t_2 = \frac{l_2}{\beta c} = \frac{l}{\gamma \beta c} = \frac{t_1}{\gamma}$$. | |||
| Электрон почти неподвижен (его скорость мала - эффект малого отклонения), поэтому магнитная сила $e \mathbf{v} \times \mathbf{B}$ пренебрежима мала (она первого порядка малости от $v$), и работает практически только электрическая сила: | |||
| $$ F = e E_2 = \ e \gamma E$$ | |||
| Импульс, полученный электроном: | |||
| $$ p_2 = F \ t_2 = e \gamma E \cdot \frac{t_1}{\gamma} = e E t_1 = p$$ | |||
| То есть поперечный импульс получается точно такой же, как и в первом случае. Усиление поля (в $\gamma$ раз) в точности компенсируется сокращением времени взаимодействия ( в $\gamma$ раз). | |||
| Поскольку теперь электрон почти покоится ( его скорость $v_2$ -- единственная и малая составляющая полной скорости), $\gamma_2 \approx 1:$ | |||
| $$ p_2 \approx m v_2 \Rightarrow \ v_2 \approx \frac{p}{m}$$ | |||
| Сравняя скорости получаем: | |||
| $$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{p}{m} \sqrt{1 - \beta^2}}{\frac{p}{m}} = \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{\gamma}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | 1) Поперечный импульс во втором случае такой же: $p_2 = p$. | ||
| 2) $\frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2}}$ | |||