| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.6.20.$ а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисунке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу единицы длины струны $\rho$, деформацию в области изгиба $\\varepsilon \ll 1$ и скорость смещения области изгиба $c$. | | $3.6.20.$ а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисунке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу единицы длины струны $\rho$, деформацию в области изгиба $\\varepsilon \ll 1$ и скорость смещения области изгиба $c$. |
| | | |
| б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок струны, если сила натяжения ее равна $F_0$? Выразите скорость смещения области изгиба струны через $F_0$ и $\rho$. | | б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок струны, если сила натяжения ее равна $F_0$? Выразите скорость смещения области изгиба струны через $F_0$ и $\rho$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Пункт а | | #### Пункт а |
| | | |
| Возмущение передвигается вправо со скорстью $c$. В такой форме скорости частиц поперечные в возмущении равны $u$, одинаковы. | | Возмущение передвигается вправо со скорстью $c$. В такой форме скорости частиц поперечные в возмущении равны $u$, одинаковы. |
| | | |
| Продольный импульс выделенного участка постоянен, значит можно записать | | Продольный импульс выделенного участка постоянен, значит можно записать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{у}\cos\alpha = F_0, | | F_\text{у}\cos\alpha = F_0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $F_\text{у}$ есть сила натяжения в струне в возмущении, $\tan\alpha = b/L$. | | где $F_\text{у}$ есть сила натяжения в струне в возмущении, $\tan\alpha = b/L$. |
| | | |
| Сила $F_\text{у}$ постоянна в области возмущения и направлена вдоль струны. | | Сила $F_\text{у}$ постоянна в области возмущения и направлена вдоль струны. |
| | | |
| Вертикальная составляющая силы $F_\text{у}$ | | Вертикальная составляющая силы $F_\text{у}$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_\text{у}\sin\alpha | | F_\text{у}\sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| нескомпенсирована и дает изменение импульса в поперечном направлении у выделенного участка. | | нескомпенсирована и дает изменение импульса в поперечном направлении у выделенного участка. |
| | | |
| Из геометрии смещения за время $dt$ в выделенном участке добавляется импульс $dp$ элемента струны $\rho c\,dt$: | | Из геометрии смещения за время $dt$ в выделенном участке добавляется импульс $dp$ элемента струны $\rho c\,dt$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dp = \rho c u\,dt, | | dp = \rho c u\,dt, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда с учетом предыдущей задачи $3.6.19$ ($г = -\varepsilon c$) | | откуда с учетом предыдущей задачи $3.6.19$ ($г = -\varepsilon c$) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\frac{dp}{dt} = -\rho c^2\varepsilon.} | | \boxed{\frac{dp}{dt} = -\rho c^2\varepsilon.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Пункт б | | #### Пункт б |
| | | |
| Как сказано в пункте а, | | Как сказано в пункте а, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{dp}{dt} = F_\text{у}\sin\alpha,\quad F_\text{у}\cos\alpha = F_0. | | \frac{dp}{dt} = F_\text{у}\sin\alpha,\quad F_\text{у}\cos\alpha = F_0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда с учетом $\varepsilon = -\tan\alpha$ проекция суммарной силы на вертикальную ось (принимаем эту ось вверх) | | откуда с учетом $\varepsilon = -\tan\alpha$ проекция суммарной силы на вертикальную ось (принимаем эту ось вверх) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{F_\text{сум} = \frac{dp}{dt} = -F_0\varepsilon.} | | \boxed{F_\text{сум} = \frac{dp}{dt} = -F_0\varepsilon.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из решений в рамках | | Из решений в рамках |
| | | |
| $$ | | $$ |
| с = \sqrt{\frac{F_0}{\rho}}. | | с = \sqrt{\frac{F_0}{\rho}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| а. | | а. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{dp}{dt} = -\rho c^2 \varepsilon. | | \frac{dp}{dt} = -\rho c^2 \varepsilon. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| б. | | б. |
| | | |
