Edits to “Условие”, “Альтернативное решение”

emixter edited Sep 17, 2026, 6:55 PM

View solution History

revision #20819 parent #20818 ← older

ru/14.3.27.md +50 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$14.3.27.$
			Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого накопителя -- магнитоэлектрический плоский конденстаор, в котором разноименные электрические заряды, расположенные на пластинках, создают жлектрическое пооле напряженности $E$, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолированный от пластин) создает магнитное поле индукции $B$, равный по величине (в системе СГС) $E$. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пластины, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в целом коденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин.
		−	![~~statement.svg~~\|140x265, 50%](../../img/14.3.27/statement.svg)
		+	![\|140x265, 30%](../../img/14.3.27/statement.svg)

			### Решение

			Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$).

			Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением
			$$ P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$
			магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины:
			$$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$
			Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину:
			$$ P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B $$
			Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится.

			Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю:
			$F_{\parallel} = F_{\perp} = 0. $
			При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно:
			$$ F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}. $$
			Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0. $ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО).
			Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит.
			Движение вдоль пластин.

			а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$

			Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$
			$$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$
			Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.} $
			Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi} $ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем:
			$$ T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0. $$
			Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок.

			б) скорость вдоль тока $ \mathbf{j} (v = v \hat{y})$
			Здесь и $\mathbf{E}$, и $ \mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт:
			$$ E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E, $$
			т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $ \gamma (1 + \beta) $.
			Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $ T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0. $

			Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е )

			Здесь $ \mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$
			$$ \mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}. $$

			Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток
			$$ T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$

			Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся).
			Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $ \partial g'$ / $ \partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $ T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой).

			Вывод:
			Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство
			E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого.
		@@ -56,3 +56,52 @@Решение
			#### Ответ
			Равновесие сохраняется при любом равномерном движении накопителя — как вдоль, так и поперёк пластин.

		+	### Альтернативное решение
		+
		+	Моё решение не будет выходить за рамки школьной программы. Поэтому никаких тензоров Максвела, никаких потоков электромагнитных импульсов тут не будет.
		+
		+	Воспользуемся релятивистскими преобразованиями полей Лоренца при переходе из исходной системы отсчета $K$ в систему $K^{'}$, движущуюся со скоростью $\upsilon$ вдоль $\textbf{произвольной}$ оси $X$. Тогда формулы преобразования полей в СГС будут иметь вид:
		+
		+	$$E_{x}^{'}=E_{x} \quad E_{y}^{'}=\gamma\left( E_{y}-\frac{\upsilon}{c}B_{z} \right) \quad E_{z}^{'}=\gamma\left( E_{z}+\frac{\upsilon}{c}B_{y} \right)$$
		+
		+	$$B_{x}^{'}=B_{x} \quad B_{y}^{'}=\gamma\left( B_{y}+\frac{\upsilon}{c}E_{z} \right) \quad B_{z}^{'}=\gamma\left( B_{z}-\frac{\upsilon}{c}E_{y} \right)$$
		+
		+	где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$.
		+
		+	Теперь докажем, что комбинация $E^{'2}-B^{'2}$ есть инвариантной величиной, не меняющейся при Лоренц-преобразованиях. Распишим покомпонентно:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=(E_{x}^{'2}+E_{y}^{'2}+E_{z}^{'2})-(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2}+B_{z}^{'2})$$
		+
		+	Подставим преобразования Лоренца:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=(E_{x}^{2}+\gamma^{2}\left( E_{y}-\frac{\upsilon}{c}B_{z} \right)^{2}+\gamma^{2}\left( E_{z}+\frac{\upsilon}{c}B_{y} \right)^{2})-(B_{x}^{2}+\gamma^{2}\left( B_{y}+\frac{\upsilon}{c}E_{z} \right)^{2}+\gamma^{2}\left( B_{z}-\frac{\upsilon}{c}E_{y} \right)^{2})$$
		+
		+	Возведём в квадраты и раскроем скобки. После упрощений получим:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma^{2}\left[ (E_{y}^{2}+E_{z}^{2})\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right)-(B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right) \right]$$
		+
		+	Так как по определению $\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right)=\frac{1}{\gamma^{2}}$, тогда:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma^{2}\frac{1}{\gamma^{2}}\left[ (E_{y}^{2}+E_{z}^{2})-(B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\right]$$
		+
		+	Или:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}+E_{y}^{2}+E_{z}^{2}-B_{x}^{2}-B_{y}^{2}-B_{z}^{2}=E^{2}-B^{2}$$
		+
		+	Что и требовалось доказать.
		+
		+	По условию у нас $B=E$, тогда, используя инвариант:
		+
		+	$$E^{'2}-B^{'2}=E^{2}-B^{2}=0\Longrightarrow E^{'}=B^{'}$$
		+
		+	В системе СГС результирующее давление $P$, действующее на пластины есть разностью между расталкивающим магнитным и притягивающим электрическим давлениями:
		+
		+	$$P=P_{B}-P_{E}=\frac{B^{2}}{8\pi}-\frac{E^{2}}{8\pi}=\frac{1}{8\pi}(B^{2}-E^{2})$$
		+
		+	Если в системе $K$ при $B=E$ результирующее давление равно 0, то и в любой другой инерциальной системе вне зависимости от величины и направления скорости $\upsilon$, получим:
		+
		+	$$P^{'}=\frac{1}{8\pi}(B^{'2}-E^{'2})=0$$
		+
		+	Равновесие накопителя абсолютно не изменится ни при движении вдоль, ни при движении поперек пластин.
		+
		+	$\textbf{P.S.}$ Формулы для давления магнитного и электрического поля выведены в общем курсе физики Сивухина том 3 Электричество

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие		### Условие

	$14.3.27.$		$14.3.27.$
	Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого накопителя -- магнитоэлектрический плоский конденстаор, в котором разноименные электрические заряды, расположенные на пластинках, создают жлектрическое пооле напряженности $E$, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолированный от пластин) создает магнитное поле индукции $B$, равный по величине (в системе СГС) $E$. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пластины, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в целом коденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин.		Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого накопителя -- магнитоэлектрический плоский конденстаор, в котором разноименные электрические заряды, расположенные на пластинках, создают жлектрическое пооле напряженности $E$, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолированный от пластин) создает магнитное поле индукции $B$, равный по величине (в системе СГС) $E$. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пластины, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в целом коденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин.
	![~~statement.svg~~\|140x265, 50%](../../img/14.3.27/statement.svg)		![\|140x265, 30%](../../img/14.3.27/statement.svg)

	### Решение		### Решение

	Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$).		Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$).

	Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением		Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением
	$$ P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$		$$ P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$
	магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины:		магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины:
	$$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$		$$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$
	Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину:		Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину:
	$$ P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B $$		$$ P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B $$
	Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится.		Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится.

	Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю:		Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю:
	$F_{\parallel} = F_{\perp} = 0. $		$F_{\parallel} = F_{\perp} = 0. $
	При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно:		При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно:
	$$ F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}. $$		$$ F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}. $$
	Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0. $ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО).		Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0. $ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО).
	Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит.		Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит.
	Движение вдоль пластин.		Движение вдоль пластин.

	а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$		а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$

	Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$		Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$
	$$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$		$$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$
	Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.} $		Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.} $
	Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi} $ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем:		Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi} $ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем:
	$$ T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0. $$		$$ T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0. $$
	Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок.		Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок.

	б) скорость вдоль тока $ \mathbf{j} (v = v \hat{y})$		б) скорость вдоль тока $ \mathbf{j} (v = v \hat{y})$
	Здесь и $\mathbf{E}$, и $ \mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт:		Здесь и $\mathbf{E}$, и $ \mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт:
	$$ E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E, $$		$$ E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E, $$
	т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $ \gamma (1 + \beta) $.		т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $ \gamma (1 + \beta) $.
	Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $ T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0. $		Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $ T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0. $

	Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е )		Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е )

	Здесь $ \mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$		Здесь $ \mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$
	$$ \mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}. $$		$$ \mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}. $$

	Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток		Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток
	$$ T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$		$$ T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$

	Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся).		Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся).
	Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $ \partial g'$ / $ \partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $ T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой).		Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $ \partial g'$ / $ \partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $ T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой).

	Вывод:		Вывод:
	Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство		Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство
	E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого.		E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого.
	@@ -56,3 +56,52 @@Решение
	#### Ответ		#### Ответ
	Равновесие сохраняется при любом равномерном движении накопителя — как вдоль, так и поперёк пластин.		Равновесие сохраняется при любом равномерном движении накопителя — как вдоль, так и поперёк пластин.

			### Альтернативное решение

			Моё решение не будет выходить за рамки школьной программы. Поэтому никаких тензоров Максвела, никаких потоков электромагнитных импульсов тут не будет.

			Воспользуемся релятивистскими преобразованиями полей Лоренца при переходе из исходной системы отсчета $K$ в систему $K^{'}$, движущуюся со скоростью $\upsilon$ вдоль $\textbf{произвольной}$ оси $X$. Тогда формулы преобразования полей в СГС будут иметь вид:

			$$E_{x}^{'}=E_{x} \quad E_{y}^{'}=\gamma\left( E_{y}-\frac{\upsilon}{c}B_{z} \right) \quad E_{z}^{'}=\gamma\left( E_{z}+\frac{\upsilon}{c}B_{y} \right)$$

			$$B_{x}^{'}=B_{x} \quad B_{y}^{'}=\gamma\left( B_{y}+\frac{\upsilon}{c}E_{z} \right) \quad B_{z}^{'}=\gamma\left( B_{z}-\frac{\upsilon}{c}E_{y} \right)$$

			где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$.

			Теперь докажем, что комбинация $E^{'2}-B^{'2}$ есть инвариантной величиной, не меняющейся при Лоренц-преобразованиях. Распишим покомпонентно:

			$$E^{'2}-B^{'2}=(E_{x}^{'2}+E_{y}^{'2}+E_{z}^{'2})-(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2}+B_{z}^{'2})$$

			Подставим преобразования Лоренца:

			$$E^{'2}-B^{'2}=(E_{x}^{2}+\gamma^{2}\left( E_{y}-\frac{\upsilon}{c}B_{z} \right)^{2}+\gamma^{2}\left( E_{z}+\frac{\upsilon}{c}B_{y} \right)^{2})-(B_{x}^{2}+\gamma^{2}\left( B_{y}+\frac{\upsilon}{c}E_{z} \right)^{2}+\gamma^{2}\left( B_{z}-\frac{\upsilon}{c}E_{y} \right)^{2})$$

			Возведём в квадраты и раскроем скобки. После упрощений получим:

			$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma^{2}\left[ (E_{y}^{2}+E_{z}^{2})\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right)-(B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right) \right]$$

			Так как по определению $\left( 1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}} \right)=\frac{1}{\gamma^{2}}$, тогда:

			$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma^{2}\frac{1}{\gamma^{2}}\left[ (E_{y}^{2}+E_{z}^{2})-(B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\right]$$

			Или:

			$$E^{'2}-B^{'2}=E_{x}^{2}+E_{y}^{2}+E_{z}^{2}-B_{x}^{2}-B_{y}^{2}-B_{z}^{2}=E^{2}-B^{2}$$

			Что и требовалось доказать.

			По условию у нас $B=E$, тогда, используя инвариант:

			$$E^{'2}-B^{'2}=E^{2}-B^{2}=0\Longrightarrow E^{'}=B^{'}$$

			В системе СГС результирующее давление $P$, действующее на пластины есть разностью между расталкивающим магнитным и притягивающим электрическим давлениями:

			$$P=P_{B}-P_{E}=\frac{B^{2}}{8\pi}-\frac{E^{2}}{8\pi}=\frac{1}{8\pi}(B^{2}-E^{2})$$

			Если в системе $K$ при $B=E$ результирующее давление равно 0, то и в любой другой инерциальной системе вне зависимости от величины и направления скорости $\upsilon$, получим:

			$$P^{'}=\frac{1}{8\pi}(B^{'2}-E^{'2})=0$$

			Равновесие накопителя абсолютно не изменится ни при движении вдоль, ни при движении поперек пластин.

			$\textbf{P.S.}$ Формулы для давления магнитного и электрического поля выведены в общем курсе физики Сивухина том 3 Электричество