Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited Sep 18, 2026, 7:33 AM

View solution History

revision #20824 parent #20823 ← older

ru/8.2.19.md +21 −3

		@@ -1,11 +1,29 @@
			### Условие

		−	$8.2.19.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$8.2.19.$ На медные электроды, погруженные в большой сосуд с подсоленной водой, подается постоянное напряжение. С помощью зонда, подсоединенного к высокоомному вольтметру, можно получить «карту» эквипотенциалей. Как по данным этой карты определить направление линий тока и плотность тока?Почему электрическое поле в воде такое же, как и для электродов в вакууме при том же напряжении между ними?

			### Решение

		−	asd
		+	Линии тока всегда направлены перпендикулярно эквипотенциальным линиям в сторону уменьшения потенциала: от электрода с большим потенциалом к электроду с меньшим. Это следует из связи напряженности поля с градиентом потенциала $\vec E=-\vec \nabla \varphi$ и закона Ома в дифференциальной форме $\vec j=\sigma\vec E$

		+	Модуль плотности тока определяется густотой расположения эквипотенциалей. Для двух близких линий с разностью потенциалов $\Delta \varphi$, измерив кратчайшее расстояние между ними $\Delta n$ по нормали, находим:
		+
		+	$$j\approx \sigma\frac{\Delta\varphi}{\Delta n}$$
		+
		+	Где линии на карте расположены ближе друг к другу, там напряженность поля и плотность тока выше.
		+
		+	Причина совпадения полей в воде и вакууме объясняется электростатической аналогией между задачей стационарной проводимости и электростатической задачей в вакууме.
		+
		+	В установившемся режиме постоянного тока в однородной проводящей воде $\sigma=\text{const}$ нет накопления объемных зарядов, поэтому из закона сохранения заряда $\nabla\cdot\vec j=0$ следует уравнение Лапласа:
		+
		+	$$\vec j=\sigma\vec E\Rightarrow \nabla\cdot \vec j=\sigma\nabla \vec E\Rightarrow 0=\nabla \cdot (-\nabla \varphi)\Rightarrow \nabla ^{2}\varphi=0$$
		+
		+	В вакууме между электродами объемный заряд также равен нулю, и поле описывается точно таким же уравнением Лапласа.
		+
		+	Поскольку медные электроды обладают огромной проводимостью, их поверхности эквипотенциальны. При одинаковом напряжении граничные условия для уравнений в воде и в вакууме совпадают.
		+
		+	Согласно теореме единственности, одинаковые уравнения при одинаковых граничных условиях дают идентичные распределения потенциала $\varphi(x,y,z)$ и конфигурации линий поля.
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	Причина совпадения полей в воде и вакууме объясняется электростатической аналогией между задачей стационарной проводимости и электростатической задачей в вакууме.

	@@ -1,11 +1,29 @@
	### Условие		### Условие

	$8.2.19.$ [Вставьте условие задачи]		$8.2.19.$ На медные электроды, погруженные в большой сосуд с подсоленной водой, подается постоянное напряжение. С помощью зонда, подсоединенного к высокоомному вольтметру, можно получить «карту» эквипотенциалей. Как по данным этой карты определить направление линий тока и плотность тока?Почему электрическое поле в воде такое же, как и для электродов в вакууме при том же напряжении между ними?

	### Решение		### Решение

	asd		Линии тока всегда направлены перпендикулярно эквипотенциальным линиям в сторону уменьшения потенциала: от электрода с большим потенциалом к электроду с меньшим. Это следует из связи напряженности поля с градиентом потенциала $\vec E=-\vec \nabla \varphi$ и закона Ома в дифференциальной форме $\vec j=\sigma\vec E$

			Модуль плотности тока определяется густотой расположения эквипотенциалей. Для двух близких линий с разностью потенциалов $\Delta \varphi$, измерив кратчайшее расстояние между ними $\Delta n$ по нормали, находим:

			$$j\approx \sigma\frac{\Delta\varphi}{\Delta n}$$

			Где линии на карте расположены ближе друг к другу, там напряженность поля и плотность тока выше.

			Причина совпадения полей в воде и вакууме объясняется электростатической аналогией между задачей стационарной проводимости и электростатической задачей в вакууме.

			В установившемся режиме постоянного тока в однородной проводящей воде $\sigma=\text{const}$ нет накопления объемных зарядов, поэтому из закона сохранения заряда $\nabla\cdot\vec j=0$ следует уравнение Лапласа:

			$$\vec j=\sigma\vec E\Rightarrow \nabla\cdot \vec j=\sigma\nabla \vec E\Rightarrow 0=\nabla \cdot (-\nabla \varphi)\Rightarrow \nabla ^{2}\varphi=0$$

			В вакууме между электродами объемный заряд также равен нулю, и поле описывается точно таким же уравнением Лапласа.

			Поскольку медные электроды обладают огромной проводимостью, их поверхности эквипотенциальны. При одинаковом напряжении граничные условия для уравнений в воде и в вакууме совпадают.

			Согласно теореме единственности, одинаковые уравнения при одинаковых граничных условиях дают идентичные распределения потенциала $\varphi(x,y,z)$ и конфигурации линий поля.

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		Причина совпадения полей в воде и вакууме объясняется электростатической аналогией между задачей стационарной проводимости и электростатической задачей в вакууме.