Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #20830 parent #20828 ← older
ru/14.3.6.md +81 −3
@@ -1,11 +1,89 @@
### Условие
−$14.3.6.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.3.6.$ $\textbf{а.}$ Пусть имеются неподвижный заряд и магнитное поле, которое на этот заряд не действует. При движении этого состояния со скоростью $\beta c$ заряд будет двигаться со скоростью $\beta c$. Сила, действующая на заряд в новом состоянии, равна нулю из-за того, что кроме магнитного поля на заряд действует возникающее при сносе электрическое поле. Определите, пользуясь условием равновесия сил, действующих на заряд, связь в новом состоянии индукции магнитного поля $\vec B$ с электрической напряженностью $\vec E$.
+![К задаче $14.3.6.a$|191x144, 30%](../../img/14.3.6/14.3.6.а.png)
+
+$\textbf{б.}$ Какое электрическое поле возникает при движении со скоростью $\beta c$ магнитного поля с индукцией $B$, если $\beta\ll 1$?
+
+![К задаче $14.3.6.б$|151x146, 30%](../../img/14.3.6/14.3.6.б.png)
+
+$\textbf{в.}$ На рисунке изображен постоянный магнит с магнитной индукцией $\vec B$, движущийся, как утверждает экспериментатор 1, мимо него со скоростью $\vec\beta c$, так как он обнаружил по действию на заряд $q$ электрическое поле напряженности $\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B \right]$, которое должно возникнуть у движущегося магнита. Однако экспериментатор 2, сидящий на магните, утверждает, что у этого магнита нет никакого электрического поля и он неподвижен. Сила же, действующая на заряд $q$, связана не с электрическим, а с магнитным полем. «Экспериментатор 1, — утверждает экспериментатор 2, — вместе со своим зарядом движется в магнитном поле с индукцией $\vec B$ со скоростью $-\vec\beta c$. Поэтому на заряд действует сила не со стороны электрического поля напряженности $\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B \right]$, а со стороны магнитного поля индукции $B$».
+
+Кто из них прав?
+
+![К задаче $14.3.6.в$|348x216, 30%](../../img/14.3.6/14.3.6.в.png)
+
### Решение
−asd
+$\textbf{а.}$ Буду решать задачу в системе СГС. Для определения связи между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и напряженностью электрического поля $\vec{E}$ воспользуемся условием равенства нулю полной силы Лоренца, действующей на движущийся заряд в новой системе отсчета:
+$$\vec F=q\vec E+\frac{q}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]=0$$
+
+Учитывая, что $\vec\beta=\frac{\vec\upsilon}{c}$, получим:
+
+$$\boxed{\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B \right]}$$
+
+$\textbf{б.}$ Пусть в системе отсчета $K$ источник магнитного поля покоится. В этой системе есть только магнитное поле $\vec B$, а электрическое поле отсутствует $\vec E=0$. Система отсчета $K^{'}$ движется относительно системы $K$ со скоростью $\vec\upsilon=\vec\beta c$.
+
+Формулы преобразования компонентов магнитного поля при переходе из системы $K$ в систему $K^{'}$ имеют вид:
+
+параллельная компонента (вдоль направления движения $\vec\beta$):
+
+$$\vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$
+
+перпендикулярная компонента (поперек направления движения $\vec\beta$):
+
+$$\vec B_{\bot}^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\left[ \vec\beta\times \vec E \right] \right)$$
+
+Лоренц-фактор $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$.
+
+По условию, в исходной системе $K$ электрическое поле $\vec E=0$, тогда:
+
+$$\vec B_{\bot}^{'}=\gamma\vec B_{\bot }=\frac{\vec B_{\bot }}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$
+
+По условию $\beta\ll 1$, тогда разложим в ряд Тейлора по малому параметру $\beta$ и ограничимся двумя первыми слогаемыми:
+
+$$\vec B_{\bot}^{'}\approx \left( 1+\frac{1}{2}\beta^{2} \right)\vec B_{\bot }=\vec B_{\bot }+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }$$
+
+Полный вектор магнитного поля в движущейся системе:
+
+$$\vec B^{'}=\vec B_{\parallel }^{'}+\vec B_{\bot }^{'}=\vec B_{\parallel }+\vec B_{\bot }+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }$$
+
+Так как $\vec{B}_{\parallel}+\vec{B}_{\bot} = \vec{B}$ исходное поле, получаем:
+
+$$\vec B^{'}=\vec B+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }\approx \vec B$$
+
+Опять же из-за малости $\beta$.
+
+В движущемся состоянии на заряд действует нулевая сила Лоренца:
+
+$$\vec E+\left[\vec\beta\times \vec B^{'} \right]=0\Rightarrow \vec E=-\left[\vec\beta\times \vec B^{'} \right]\approx -\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$
+
+$\textbf{в.}$ Разберём точку зрения экспериментатора 1 (неподвижная система отсчета $K$). Для него платформа с магнитом движется вправо со скоростью $\vec\upsilon=\vec\beta c$, а заряд $q$ покоится.
+
+Движущийся магнит создает в пространстве не только магнитное поле, но и индуцированное электрическое поле:
+
+$$\vec E\approx -\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$
+
+Так как в системе $K$ заряд неподвижен, магнитная составляющая силы Лоренца на него не действует. Сила обусловлена исключительно возникшим электрическим полем:
+
+$$\vec F_{1}=q\vec E=-q\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$
+
+Теперь разберём точку зрения экспериментатора 2 (система отсчета $K^{'}$, связанная с магнитом). Для него магнит покоится, а экспериментатор 1 вместе со своим зарядом $q$ движется влево со скоростью $\vec\upsilon^{'}=-\vec\beta c$.
+
+Поскольку источник магнитного поля неподвижен, никакого электрического поля в системе $K^{'}$ нет $\vec E^{'}=0$. Существует только исходное магнитное поле $\vec{B}$.
+
+Сила Лоренца в данном случае является чисто магнитной, так как заряд движется со скоростью $\vec\upsilon^{'}$ в магнитном поле $\vec B$:
+
+$$\vec F_{2}=\frac{q}{c}\left[\vec\upsilon^{'}\times \vec B \right]=\frac{q}{c}\left[-\vec\beta c\times \vec B \right]=-q\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$
+
+Поскольку при малых скоростях $\beta \ll 1$ силы в обеих системах отсчета совпадают $\vec F_{1}=\vec F_{2}$, физический результат эксперимента одинаков. Разница лишь в трактовке природы этой силы. Физический закон инвариантен, и правы оба наблюдателя.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\textbf{а.}$ $\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B \right]$
+
+$\textbf{б.}$ В движущемся состоянии электрическое поле $E$ определяется формулой $\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B^{'} \right]$, где $\vec B^{'}$ — индукция магнитного поля в движущемся состоянии. При малых $\beta$ $\vec B^{'}$ близко к $\vec B$. Поэтому $\vec E\approx -\left[ \vec\beta\times \vec B \right]$.
+
+$\textbf{в.}$ Оба объяснения правомерны. Это означает, что определить абсолютное движение магнита нельзя.