<h3 id="back-link"><a href="/#1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.31.$  На гладком горизонтальном столе расположена система грузов, изображенная на рисунке. Правый нижний груз тянут вдоль стола с силой $F$, как указано на рисунке. Коэффициент трения между грузами массы $m_1$ и $m_2$ равен $µ$. Найдите ускорение всех грузов системы.
   </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
            К задаче 2.1.31
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>
    <p>
      Перенумеруем грузы так, как показано на рисунке, и ось $X$ направим вправо. 
    </p>
    <br>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol.png"
          loading="lazy" width="350" />
        <figcaption>
          Силы действующие на грузы
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>
    Ясно, что тогда ни один из грузов не может иметь отрицательного ускорения. 
    </p>
    <p>
    Докажем что грузы $3$ и $4$ движутся как одно целое. Для этого предположим противное: пусть груз $3$ скользит по грузу $4$. Тогда между ними возникает сила трения
    $$F_{тр}= \mu mg$$ 
    а в нити возникает сила упругости 
    $$T> \mu mg$$ 
    При этом ускорение груза $2$ было бы направлено влево, чего не может быть. Следовательно, ускорения грузов $2$, $3$ и $4$ одинаковы.
    </p>
    <p>
    Обозначим ускорение этих грузов через $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$, а ускоренbе груза $1$ через $\bar{a}_{1}$. 
    </p>
    <p>
    Теперь рассмотрим два случая. 
    </p>

    <p>
    Случай 1. Пусть грузы $1$ и $2$ находятся в относительном покое и $\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}$. 
    </p>
    <p>
    Обозначим модуль силы трения покоя между ними через $F_1$ -модуль силы трения между грузами $3$ и $4$ через $F_2$ и модуль силы упругости нити через $T$ .
    </p> 

    <p>
      Тогда: для груза $1$ 
      $$F-F_{1}=Ma_{1}$$ 
      для груза $2$ 
      $$F_{1}-T=ma_{2}$$
      для груза $3$ 
      $$T-F_{2}=ma_{2}$$ 
      для груза $4$ 
      $$F_{2}=Ma_{2}$$
      Решая эту систему уравнений, получаем: 
      $$F_{1}=\frac{2m+M}{2(M+m)}F,a_{1}=a_{2}=\frac{F}{2(M+m)}$$
      Этот же результат можно получить и другим путем. Так как трение между всеми поверхностями является трением покоя, то система грузов движется как одно тело с массой $M=2(M+m)$.
    </p>
    <p>
      Поэтому 
      $$\bar{F}=m \bar{a}_{1},\bar{a}_{1}=\bar{a}_{2}= \frac{\bar{F}}{2(M+m)}$$
      Случай $2$. 
    </p>
    <p>
      Пусть груз $2$ скользит то грузу $1$. Тогда на груз $1$ действует сила трения 
      $$F_{тр}^{\prime}= \mu mg$$
      и этот груз получает ускорение $a_{1}=\frac{F- \mu mg}{m}$. 
    </p>
    <p>
      Система грузов $2$, $3$ и $4$ движется как одно тело, масса которого $M_{0}=2m+M$ с ускорением 
      $$a_{2}=\frac{\mu mg}{2m+M}$$
      Первый случай реализуется, если 
      $$F \geq \frac{2 \mu m (m+M)g}{2m+M}$$
    </p>



    <h3>
        Ответ: 
    </h3>
    <p>
      При $F\leqslant\frac{2\mu m_{1}g(m_{1}+m_{2})}{m_{2}+2m_{1}}\equiv F_{0}$ получаем $a_{1\text{пев}}=a_{1\text{прав}}=a_{2\text{прав}}=\frac{F}{2(m_{1}+m_{2})}$
    </p>
    <p>
      При $F\geqslant F_{0}$ получаем $a_{2\text{прав}}=\frac{F-\mu m_{1}g}{m_{2}}$, $a_{1\text{лев}}=a_{1\text{прав}}=a_{2\text{лев}}=\frac{\mu m_{1}g}{m_{2}+2m_{1}}$
    </p>
     
<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>