Решение

Обозначим через $U$ ускоряющее напряжение, а через $V$ — минимальную разность потенциалов между пластинами конденсатора.

После ускорения электрона разностью потенциалов $U$ его полная релятивистская энергия равна

$$E=m_ec^2+eU.$$

Связь между полной энергией и импульсом электрона имеет вид

$$E^2=p^2c^2+m_e^2c^4.$$

Отсюда

$$p^2c^2=E^2-m_e^2c^4.$$

Электрическое поле внутри конденсатора направлено перпендикулярно его пластинам. Поэтому составляющая импульса электрона, параллельная пластинам, сохраняется:

$$p_{\parallel}=p\cos\alpha.$$

Минимальная разность потенциалов соответствует предельному случаю, когда электрон достигает верхней пластины с нулевой составляющей импульса, перпендикулярной пластинам. Следовательно, его импульс в этот момент равен

$$p'=p\cos\alpha.$$

Полная энергия электрона у верхней пластины равна

$$E'=\sqrt{m_e^2c^4+p^2c^2\cos^2\alpha}.$$

Используя выражение для $p^2c^2$, получаем

$$E'=\sqrt{m_e^2c^4+\left(E^2-m_e^2c^4\right)\cos^2\alpha}.$$

После упрощения

$$E'=\sqrt{E^2\cos^2\alpha+m_e^2c^4\sin^2\alpha}.$$

При движении электрона от нижней пластины к верхней его энергия уменьшается на величину $eV$. Поэтому

$$E'=E-eV.$$

Следовательно,

$$eV=E-\sqrt{E^2\cos^2\alpha+m_e^2c^4\sin^2\alpha}.$$

Подставляя $E=m_ec^2+eU$, получаем

$$eV=m_ec^2+eU-\sqrt{\left(m_ec^2+eU\right)^2\cos^2\alpha+m_e^2c^4\sin^2\alpha}.$$

Разделив на $e$, имеем

$$V=U+\frac{m_ec^2}{e}-\sqrt{\left(U+\frac{m_ec^2}{e}\right)^2\cos^2\alpha+\left(\frac{m_ec^2}{e}\right)^2\sin^2\alpha}.$$

Теперь подставим численные значения:

$$U=1\,\mathrm{МВ},\qquad \alpha=30^\circ,\qquad \frac{m_ec^2}{e}=0.511\,\mathrm{МВ}.$$

Тогда

$$V=1+0.511-\sqrt{(1+0.511)^2\cos^230^\circ+0.511^2\sin^230^\circ}.$$

Так как

$$\cos^230^\circ=\frac34,\qquad \sin^230^\circ=\frac14,$$

получаем

$$V=1.511-\sqrt{1.511^2\cdot\frac34+0.511^2\cdot\frac14}.$$

Откуда

$$V\approx0.178\,\mathrm{МВ}.$$