| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $5.8.6.$ Решите задачи $5.8.5$ в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен $1/m$, где $m$ — целое число. | | $5.8.6.$ Решите задачи $5.8.5$ в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен $1/m$, где $m$ — целое число. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Введение | | #### Введение |
| | | |
| Введем оси $x,y$ вдоль сторон соседних квадрата, в котором первоначально перемещается атом. Ось $x$ направлена вправо по нижней стороне, $y$ — вверх по левой стороне, если смотреть на квадрат прямо. Атом стартует с середины нижней стороны и летит сначала на правую сторону квадрата. Стороны квадрата $a$. | | Введем оси $x,y$ вдоль сторон соседних квадрата, в котором первоначально перемещается атом. Ось $x$ направлена вправо по нижней стороне, $y$ — вверх по левой стороне, если смотреть на квадрат прямо. Атом стартует с середины нижней стороны и летит сначала на правую сторону квадрата. Стороны квадрата $a$. |
| | | |
| Угол падения для удобства считаем прилежащий к правой стороне квадрата, поэтому получается $\tan\alpha_0 = m$ (это справедливо, например, если угол падения в условии отсчитывали от нормали к первой точке столкновения с правой стеной). | | Угол падения для удобства считаем прилежащий к правой стороне квадрата, поэтому получается $\tan\alpha_0 = m$ (это справедливо, например, если угол падения в условии отсчитывали от нормали к первой точке столкновения с правой стеной). |
| | | |
| | | |
| #### Условие замкнутости | | #### Условие замкнутости |
| | | |
| Введем понятие периода движения по оси. Период по оси — время, за которое тело делает одно колебание по данной оси. Периоды по осям $x,y$ обозначим $T_x,T_y$. | | Введем понятие периода движения по оси. Период по оси — время, за которое тело делает одно колебание по данной оси. Периоды по осям $x,y$ обозначим $T_x,T_y$. |
| | | |
| Чтобы траектория была замкнута, нужно чтобы периоды относились как целые числа (ср. задачу $3.4.9$). Можно исследуемые траектории назвать <i>ломаными фигурами Лиссажу</i> (ср. задачу $3.4.11$). | | Чтобы траектория была замкнута, нужно чтобы периоды относились как целые числа (ср. задачу $3.4.9$). Можно исследуемые траектории назвать <i>ломаными фигурами Лиссажу</i> (ср. задачу $3.4.11$). |
| | | |
| Посмотрим, как с этим связан тангенс угла падения: | | Посмотрим, как с этим связан тангенс угла падения: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\alpha = \frac{v_x}{v_y} = \frac{\frac{2a}{T_x}}{\frac{2a}{T_y}} = \frac{T_y}{T_x} = \frac{p}{q}, | | \tan\alpha = \frac{v_x}{v_y} = \frac{\frac{2a}{T_x}}{\frac{2a}{T_y}} = \frac{T_y}{T_x} = \frac{p}{q}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $v_x,v_y$ — скорости по осям $x,y$, а $p,q$ — целые числа, не имеющие общего делителя. | | где $v_x,v_y$ — скорости по осям $x,y$, а $p,q$ — целые числа, не имеющие общего делителя. |
| | | |
| То есть тангенс угла падения для замкнутости должен быть рациональным числом [1]. | | То есть тангенс угла падения для замкнутости должен быть рациональным числом [1]. |
| | | |
| Для первоначального угла падения | | Для первоначального угла падения |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\alpha_0 = m. | | \tan\alpha_0 = m. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для угла падения $\alpha_0 + \Delta$, тангенс которого мало отличается от $m$ для замкнутости можно записать | | Для угла падения $\alpha_0 + \Delta$, тангенс которого мало отличается от $m$ для замкнутости можно записать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = \frac{p}{q} = m + \frac{k}{n}, | | M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = \frac{p}{q} = m + \frac{k}{n}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\dfrac{k}{n}$ — также рациональная дробь и несократимая, причем $n\gg k$. | | где $\dfrac{k}{n}$ — также рациональная дробь и несократимая, причем $n\gg k$. |
| | | |
| В случаях тангенса, не представимого в данном виде, замкнутости нет, тангенс оказывается иррациональным числом (и $M = m + i$, где $i$ — иррациональное)! | | В случаях тангенса, не представимого в данном виде, замкнутости нет, тангенс оказывается иррациональным числом (и $M = m + i$, где $i$ — иррациональное)! |
| | | |
| | | |
| #### Пункт а | | #### Пункт а |
| | | |
| Сначала получим связь $\Delta$ с $k,n$. | | Сначала получим связь $\Delta$ с $k,n$. |
| | | |
| С учетом тригонометрии [2] при замкнутости для тангенса суммы | | С учетом тригонометрии [2] при замкнутости для тангенса суммы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M \approx \boxed{\frac{m + \Delta}{1 - m\Delta} = m + \frac{k}{n}.} | | M \approx \boxed{\frac{m + \Delta}{1 - m\Delta} = m + \frac{k}{n}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Рамочную формулу преобразуем в модели чисел $\boxed{m \sim 1}$ и получим приближенно | | Рамочную формулу преобразуем в модели чисел $\boxed{m \sim 1}$ и получим приближенно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{\Delta \approx \frac{k}{n\left(1 + m^2\right)}.}}\tag{1} | | \boxed{\boxed{\Delta \approx \frac{k}{n\left(1 + m^2\right)}.}}\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Это удовлетворяет результату случая $m = 1$ в задаче $5.8.5$.) | | (Это удовлетворяет результату случая $m = 1$ в задаче $5.8.5$.) |
| | | |
| Если $M$ так не представима как $m$ плюс рациональное, то траектория незамкнута. | | Если $M$ так не представима как $m$ плюс рациональное, то траектория незамкнута. |
| | | |
| Теперь рассчитываем среднюю скорость места удара по каждой стене. | | Теперь рассчитываем среднюю скорость места удара по каждой стене. |
| | | |
| | | |
| ##### Средняя скорость | | ##### Средняя скорость |
| | | |
| Для этого найдем смещение точки за один период по «медленной оси» (в нашем случае медленная ось $y$). Это будут шаги, которые делает точка удара относительно начальной точки. Рассуждения делаем прямо в рамках квадрата по ломанной траектории. | | Для этого найдем смещение точки за один период по «медленной оси» (в нашем случае медленная ось $y$). Это будут шаги, которые делает точка удара относительно начальной точки. Рассуждения делаем прямо в рамках квадрата по ломанной траектории. |
| | | |
| Итак у нас какой-то угол $\alpha_0 + \Delta$, который дает тангенс, обозначаемый | | Итак у нас какой-то угол $\alpha_0 + \Delta$, который дает тангенс, обозначаемый |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = m + \frac{k}{n}. | | M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = m + \frac{k}{n}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Рассмотрим пошагово один подъем до верхней стороны квадрата с начала. | | Рассмотрим пошагово один подъем до верхней стороны квадрата с начала. |
| | | |
| - До первого столкновения по оси $y$ подъем на | | - До первого столкновения по оси $y$ подъем на |
| $$ | | $$ |
| \frac{a}{2M}. | | \frac{a}{2M}. |
| $$ | | $$ |
| - Затем еще $m - 1$ участков по высоте $\dfrac{a}{M}$ записываем как | | - Затем еще $m - 1$ участков по высоте $\dfrac{a}{M}$ записываем как |
| $$ | | $$ |
| \left(m - 1\right)\frac{a}{M}. | | \left(m - 1\right)\frac{a}{M}. |
| $$ | | $$ |
| - И еще остаток $O$ как $a$ минус предыдущие. После упрощения | | - И еще остаток $O$ как $a$ минус предыдущие. После упрощения |
| $$ | | $$ |
| O = a - \frac{a}{M}\left(m - \frac{1}{2}\right). | | O = a - \frac{a}{M}\left(m - \frac{1}{2}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После этого получаем смещение по оси $x$ относительно начальной координаты, когда точка оказалась на верхней стороне: | | После этого получаем смещение по оси $x$ относительно начальной координаты, когда точка оказалась на верхней стороне: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \delta_\text{в} = O\cdot M - \frac{a}{2} = a\left(M - m\right). | | \delta_\text{в} = O\cdot M - \frac{a}{2} = a\left(M - m\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После снижения до нижней смещение относительно начального по $x$ равно | | После снижения до нижней смещение относительно начального по $x$ равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\delta = 2a\left(M - m\right).} | | \boxed{\delta = 2a\left(M - m\right).} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Величину $\delta$ назовем смещением точки удара за цикл (за период по оси $y$). | | Величину $\delta$ назовем смещением точки удара за цикл (за период по оси $y$). |
| | | |
| Время на накопление $\delta$ есть один период $T_y$: | | Время на накопление $\delta$ есть один период $T_y$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T_y = \frac{2a}{v\cos\left(\alpha_0 + \Delta\right)}, | | T_y = \frac{2a}{v\cos\left(\alpha_0 + \Delta\right)}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| с тригонометрией, обозначениями и приближениями переписать: | | с тригонометрией, обозначениями и приближениями переписать: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T_y = \frac{2a}{v}\sqrt{M^2 + 1} \approx \frac{2a}{v}\sqrt{m^2 + 1}. | | T_y = \frac{2a}{v}\sqrt{M^2 + 1} \approx \frac{2a}{v}\sqrt{m^2 + 1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Итак, средняя скорость перемещения удара по нижней стене | | Итак, средняя скорость перемещения удара по нижней стене |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v'_x = \frac{\delta}{T_y} = \frac{v\left(M - m\right)}{\sqrt{m^2 + 1}}, | | v'_x = \frac{\delta}{T_y} = \frac{v\left(M - m\right)}{\sqrt{m^2 + 1}}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что с учетом $(1)$ | | что с учетом $(1)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{v'_x \approx v\Delta\sqrt{m^2 + 1}.}} | | \boxed{\boxed{v'_x \approx v\Delta\sqrt{m^2 + 1}.}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А средняя скорость перемещения удара по вертикальной стене по геометрии получается делением предыдущей на $m$: | | А средняя скорость перемещения удара по вертикальной стене по геометрии получается делением предыдущей на $m$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{v'_y \approx \frac{v\Delta\sqrt{m^2 + 1}}{m}.}} | | \boxed{\boxed{v'_y \approx \frac{v\Delta\sqrt{m^2 + 1}}{m}.}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Это удовлетворяет результату случая $m = 1$ в задаче $5.8.5$.) | | (Это удовлетворяет результату случая $m = 1$ в задаче $5.8.5$.) |
| | | |
| Если $M = m + i$, где $i$ — иррациональное, то результат получается такой же для скоростей. | | Если $M = m + i$, где $i$ — иррациональное, то результат получается такой же для скоростей. |
| | | |
| | | |
| ##### Расстояния отстояния | | ##### Расстояния отстояния |
| | | |
| Посмотрим на выходящие прямые из точки удара, сдвигающейся по нижней стороне, в процессе вырисовывания траектории и заметим по геометрии, что параллельные прямые отодвигаются после ближайших $1, 2, 3, \ldots$ циклов на | | Посмотрим на выходящие прямые из точки удара, сдвигающейся по нижней стороне, в процессе вырисовывания траектории и заметим по геометрии, что параллельные прямые отодвигаются после ближайших $1, 2, 3, \ldots$ циклов на |
| | | |
| $$ | | $$ |
| h_0 = \delta \cos (\alpha_0 + \Delta), | | h_0 = \delta \cos (\alpha_0 + \Delta), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что по упрощениям выше дает | | что по упрощениям выше дает |
| | | |
| $$ | | $$ |
| h_0 = 2a\Delta\sqrt{1+m^2}. | | h_0 = 2a\Delta\sqrt{1+m^2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так все время, если каждый следующий ряд из $\delta$ на стороне квадрата ложится своими стыками на предыдущий ряд из $\delta$ (отражения от стен). В общем случае это не так и нужно найти, как каждое $\delta$ первого ряда делится стыками новых таких рядов после отражений от стен. | | Так все время, если каждый следующий ряд из $\delta$ на стороне квадрата ложится своими стыками на предыдущий ряд из $\delta$ (отражения от стен). В общем случае это не так и нужно найти, как каждое $\delta$ первого ряда делится стыками новых таких рядов после отражений от стен. |
| | | |
| Сначала стоит определить связь условия замыкания с длинами $\delta, a$. Внутри квадрата с ломаной траекторией это сложно. Поэтому приходим к методу «выпрямить кривое» — каждый раз при столкновении после начала движения атома по симметрии отражения продолжаем траекторию по прямой через стену в отраженный квадрат относительно стены столкновения. Все это происходит как на бесконечной сети с ячейкой $a\times a$ и измерения проводить удобно. Это используется в теории <i>математических бильярдов</i> [3]. | | Сначала стоит определить связь условия замыкания с длинами $\delta, a$. Внутри квадрата с ломаной траекторией это сложно. Поэтому приходим к методу «выпрямить кривое» — каждый раз при столкновении после начала движения атома по симметрии отражения продолжаем траекторию по прямой через стену в отраженный квадрат относительно стены столкновения. Все это происходит как на бесконечной сети с ячейкой $a\times a$ и измерения проводить удобно. Это используется в теории <i>математических бильярдов</i> [3]. |
| | | |
| Теория мат. бильярдов подтверждает, что замыкание траектории будет тогда, когда луч из начальной точки на бесконечной указанной сети попадет в такую же точку на некоторой ячейке, копии исходного квадрата, на нечетной горизонтальной прямой сети (это отображения исходной стороны квадрата, отсчет номеров горизонтальных прямых с единицы с прямой на исходной стороне квадрата). | | Теория мат. бильярдов подтверждает, что замыкание траектории будет тогда, когда луч из начальной точки на бесконечной указанной сети попадет в такую же точку на некоторой ячейке, копии исходного квадрата, на нечетной горизонтальной прямой сети (это отображения исходной стороны квадрата, отсчет номеров горизонтальных прямых с единицы с прямой на исходной стороне квадрата). |
| | | |
| Заметим, что по анализу пересечения луча на нечетных горизонтальных прямых сети для такого замыкания на бесконечной сети точка удара проходит в общем <i>целое число длин $a$, на которых будет умещаться целое число длин $\delta$</i>. Из числа содержания $\delta$ в одном $a$ | | Заметим, что по анализу пересечения луча на нечетных горизонтальных прямых сети для такого замыкания на бесконечной сети точка удара проходит в общем <i>целое число длин $a$, на которых будет умещаться целое число длин $\delta$</i>. Из числа содержания $\delta$ в одном $a$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{a}{\delta} = \frac{1}{2} \frac{1}{M - m} = \frac{n}{2k} \gg 1 | | \frac{a}{\delta} = \frac{1}{2} \frac{1}{M - m} = \frac{n}{2k} \gg 1 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (это число может быть не целым!) видим, что для замыкания нужно пройти длину $a$ столько раз $x$, сколько раз $x$ нужно взять дробь $\dfrac{n}{2k}$, так чтобы $x\dfrac{n}{2k}$ стало целым. | | (это число может быть не целым!) видим, что для замыкания нужно пройти длину $a$ столько раз $x$, сколько раз $x$ нужно взять дробь $\dfrac{n}{2k}$, так чтобы $x\dfrac{n}{2k}$ стало целым. |
| | | |
| Число проходов $x$ зависит от четности $n$. | | Число проходов $x$ зависит от четности $n$. |
| | | |
| - Если $n$ — четное, то нужно пройти $x = k$ раз по расстоянию $a$.<br> | | - Если $n$ — четное, то нужно пройти $x = k$ раз по расстоянию $a$.<br> |
| В этом случае замкнутой траектории, так как каждый раз сдвиг ближайших рядов ударов на одно и то же расстояние меньше $\delta$, по равномерности заполнения траекторией квадрата минимальное расстояние отстояния прямых соседних друг от друга равно | | В этом случае замкнутой траектории, так как каждый раз сдвиг ближайших рядов ударов на одно и то же расстояние меньше $\delta$, по равномерности заполнения траекторией квадрата минимальное расстояние отстояния прямых соседних друг от друга равно |
| $$ | | $$ |
| \boxed{h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{k}.} | | \boxed{h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{k}.} |
| $$ | | $$ |
| или с приближением формулы $(1)$ для $\Delta$ | | или с приближением формулы $(1)$ для $\Delta$ |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{h_1 = \frac{2a}{n\sqrt{1+m^2}}.}} | | \boxed{\boxed{h_1 = \frac{2a}{n\sqrt{1+m^2}}.}} |
| $$ | | $$ |
| и в приближении не зависит от числа $k$! | | и в приближении не зависит от числа $k$! |
| | | |
| - Если $n$ — нечетное, то нужно пройти $x = 2k$ раз по расстоянию $a$.<br> | | - Если $n$ — нечетное, то нужно пройти $x = 2k$ раз по расстоянию $a$.<br> |
| В таком случае замкнутой траектории аналогично минимальное расстояние отстояния прямых соседних друг от друга равно | | В таком случае замкнутой траектории аналогично минимальное расстояние отстояния прямых соседних друг от друга равно |
| $$ | | $$ |
| \boxed{h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{2k}.} | | \boxed{h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{2k}.} |
| $$ | | $$ |
| или с приближением формулы $(1)$ для $\Delta$ | | или с приближением формулы $(1)$ для $\Delta$ |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{h_1 = \frac{2a}{2n\sqrt{1+m^2}}.}} | | \boxed{\boxed{h_1 = \frac{2a}{2n\sqrt{1+m^2}}.}} |
| $$ | | $$ |
| и в приближении тоже не зависит от числа $k$! | | и в приближении тоже не зависит от числа $k$! |
| | | |
| (Отличается от ответа задачника и от ответа задачника при условии $m=1$ в задаче~$5.8.5$.) | | (Отличается от ответа задачника и от ответа задачника при условии $m=1$ в задаче~$5.8.5$.) |
| | | |
| Для быстрой частной проверки принципа дробления шага $\delta$ на $k$ или $2k$ частей при полном замыкании траектории далее два рисунка. | | Для быстрой частной проверки принципа дробления шага $\delta$ на $k$ или $2k$ частей при полном замыкании траектории далее два рисунка. |
| | | |
| На следующем одном рисунке для четного(!) $n = 100$ (число траектории $M = m + k/n = 2 + 3/100$) показан размер дробления $\delta/k = 2a/n$, вычисленный по этой формуле, на который дробится $\delta$ при полном замыкании траектории вблизи начала движения (увеличение области у начала движения, весь квадрат $a\times a$ не виден); картина параллельных прямых есть часть общей траектории, построенной независимо программно по законам отражения. | | На следующем одном рисунке для четного(!) $n = 100$ (число траектории $M = m + k/n = 2 + 3/100$) показан размер дробления $\delta/k = 2a/n$, вычисленный по этой формуле, на который дробится $\delta$ при полном замыкании траектории вблизи начала движения (увеличение области у начала движения, весь квадрат $a\times a$ не виден); картина параллельных прямых есть часть общей траектории, построенной независимо программно по законам отражения. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| На следующем одном рисунке для нечетного(!) $n = 101$ (число траектории $M = m + k/n = 2 + 3/101$) показан размер дробления $\delta/(2k) = 2a/(2n)$, вычисленный по этой формуле, на который дробится $\delta$ при полном замыкании траектории вблизи начала движения. (Размер и масштаб области как в предыдущем рисунке.) | | На следующем одном рисунке для нечетного(!) $n = 101$ (число траектории $M = m + k/n = 2 + 3/101$) показан размер дробления $\delta/(2k) = 2a/(2n)$, вычисленный по этой формуле, на который дробится $\delta$ при полном замыкании траектории вблизи начала движения. (Размер и масштаб области как в предыдущем рисунке.) |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Если траектория не замкнута, вся поверхность квадрата заполняется и отстояние параллельных прямых равно | | Если траектория не замкнута, вся поверхность квадрата заполняется и отстояние параллельных прямых равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\boxed{h_2 = 0.}} | | \boxed{\boxed{h_2 = 0.}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| ##### Галерея | | ##### Галерея |
| | | |
| Здесь покажем траектории атома с указанием начальных условий при разных числах $\boxed{M = 2 + \dfrac{k}{n}}$. | | Здесь покажем траектории атома с указанием начальных условий при разных числах $\boxed{M = 2 + \dfrac{k}{n}}$. |
| | | |
| Следующие три рисунка показывают траекторию при $k/n = 5/102$ за $1, 2, 3$ периода по оси горизонтальной соответственно; начало в середине нижней стороны, скорости $v_x/v_y = M$, начальная скорость вправо вверх. На рисунках красный набор прямых — движение точки удара вправо после начала, синий набор — движение далее от правой стены к левой, зеленый набор — дальнейшее движение после второй смены направления движения точки удара на левой стене. | | Следующие три рисунка показывают траекторию при $k/n = 5/102$ за $1, 2, 3$ периода по оси горизонтальной соответственно; начало в середине нижней стороны, скорости $v_x/v_y = M$, начальная скорость вправо вверх. На рисунках красный набор прямых — движение точки удара вправо после начала, синий набор — движение далее от правой стены к левой, зеленый набор — дальнейшее движение после второй смены направления движения точки удара на левой стене. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Следующие рисунки подтверждают выраженную зависимость $h_1$ от четности $n$. При четном $n$ расстояние между параллельными соседними больше практически в $2$ раза, чем при ближайшем нечетном $n$. Показаны полные заполнения квадрата (достигнуто замыкание). | | Следующие рисунки подтверждают выраженную зависимость $h_1$ от четности $n$. При четном $n$ расстояние между параллельными соседними больше практически в $2$ раза, чем при ближайшем нечетном $n$. Показаны полные заполнения квадрата (достигнуто замыкание). |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Следующие рисунки подтверждают приближенную независимость(!) расстояния $h_1$ от числа $k$ на примерах чисел $k/n = 3/104, 5/104, 7/104$ с полным заполнением. | | Следующие рисунки подтверждают приближенную независимость(!) расстояния $h_1$ от числа $k$ на примерах чисел $k/n = 3/104, 5/104, 7/104$ с полным заполнением. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| На следующей паре рисунков коротко отметим приближенную обратную зависимость $h_1$ от $n$ (на сколько возможно явно и на сколько возможно близко к модели). | | На следующей паре рисунков коротко отметим приближенную обратную зависимость $h_1$ от $n$ (на сколько возможно явно и на сколько возможно близко к модели). |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| #### Пункт б | | #### Пункт б |
| | | |
| Невероятно, чтобы $\tan\left(\alpha_0 + \Delta\right)$ был точно равен целое $m$ плюс простая дробь, например $0{,}03$, так как вблизи этого числа может быть сколько угодно других чисел, например чисел типа $m + 0{,}03 + \sqrt{2}/n$, $n$ — целое число, которые сколько угодно мало отличаются от $m + 0{,}03$. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел более мощно, чем множество простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. | | Невероятно, чтобы $\tan\left(\alpha_0 + \Delta\right)$ был точно равен целое $m$ плюс простая дробь, например $0{,}03$, так как вблизи этого числа может быть сколько угодно других чисел, например чисел типа $m + 0{,}03 + \sqrt{2}/n$, $n$ — целое число, которые сколько угодно мало отличаются от $m + 0{,}03$. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел более мощно, чем множество простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| p = S/a^2. | | p = S/a^2. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Пункт в | | #### Пункт в |
| | | |
| В плоскости, перпендикулярной квадрату, аналогично пункту б невероятно, чтобы $\tan\left(\Delta\right)$ был точно равен простой дроби, поэтому объем куба заполняется полностью (эта плоскость также заполняется следами проекции точки на нее). | | В плоскости, перпендикулярной квадрату, аналогично пункту б невероятно, чтобы $\tan\left(\Delta\right)$ был точно равен простой дроби, поэтому объем куба заполняется полностью (эта плоскость также заполняется следами проекции точки на нее). |
| | | |
| $$ | | $$ |
| p = \frac{V}{a^3}. | | p = \frac{V}{a^3}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (Знатоки добавят сюда про теорию вероятностей и еще что-то.) | | (Знатоки добавят сюда про теорию вероятностей и еще что-то.) |
| | | |
| [1] М.И. Башмаков, Б.М. Беккер и В.М. Гольховой. <i>Задачи по математике: алгебра и анализ</i>. Библиотечка «Квант», 1982. | | [1] М.И. Башмаков, Б.М. Беккер и В.М. Гольховой. <i>Задачи по математике: алгебра и анализ</i>. Библиотечка «Квант», 1982. |
| | | |
| [2] И. Яковлев. <i>Тригонометрические формулы</i>. 2014. | | [2] И. Яковлев. <i>Тригонометрические формулы</i>. 2014. |
| | | |
| [3] Г.А. Гальперин и А.Н. Земляков. <i>Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики)</i>. Библиотечка «Квант», 1990. | | [3] Г.А. Гальперин и А.Н. Земляков. <i>Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики)</i>. Библиотечка «Квант», 1990. |
| | | |
| [4] А.Т. Фоменко. <i>Математика и миф сквозь призму геометрии</i>. МГУ, 2001. | | [4] А.Т. Фоменко. <i>Математика и миф сквозь призму геометрии</i>. МГУ, 2001. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| а. Замкнута при | | а. Замкнута при |
| | | |
| $$ | | $$ |
| M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = \frac{p}{q} = m + \frac{k}{n}, | | M = \tan\left(\alpha_0 + \Delta\right) = \frac{p}{q} = m + \frac{k}{n}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\alpha_0$ — прилежащий к стороне угол падения первоначальный, $\dfrac{p}{q}$ — рациональная несократимая дробь, $\dfrac{k}{n}$ — также рациональная дробь и несократимая, причем $n\gg k$. | | где $\alpha_0$ — прилежащий к стороне угол падения первоначальный, $\dfrac{p}{q}$ — рациональная несократимая дробь, $\dfrac{k}{n}$ — также рациональная дробь и несократимая, причем $n\gg k$. |
| | | |
| В случаях тангенса, не представимого в данном виде, замкнутости нет, тангенс оказывается иррациональным числом (и $M = m + i$, где $i$ — иррациональное)! | | В случаях тангенса, не представимого в данном виде, замкнутости нет, тангенс оказывается иррациональным числом (и $M = m + i$, где $i$ — иррациональное)! |
| | | |
| В модели чисел $\boxed{m \sim 1}$ при замыкании получим приближенно | | В модели чисел $\boxed{m \sim 1}$ при замыкании получим приближенно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta \approx \frac{k}{n\left(1 + m^2\right)}. | | \Delta \approx \frac{k}{n\left(1 + m^2\right)}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Средняя скорость по оси быстрых колебаний | | Средняя скорость по оси быстрых колебаний |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v'_x \approx v\Delta\sqrt{m^2 + 1}. | | v'_x \approx v\Delta\sqrt{m^2 + 1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| А средняя скорость по оси медленных колебаний: | | А средняя скорость по оси медленных колебаний: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v'_y \approx \frac{v\Delta\sqrt{m^2 + 1}}{m}. | | v'_y \approx \frac{v\Delta\sqrt{m^2 + 1}}{m}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При замкнутой | | При замкнутой |
| | | |
| - если $n$ — четное, | | - если $n$ — четное, |
| $$ | | $$ |
| h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{k} | | h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{k} |
| $$ | | $$ |
| или с приближением $m \sim 1$ для $\Delta$ | | или с приближением $m \sim 1$ для $\Delta$ |
| $$ | | $$ |
| h_1 = \frac{2a}{n\sqrt{1+m^2}}; | | h_1 = \frac{2a}{n\sqrt{1+m^2}}; |
| $$ | | $$ |
| | | |
| - если $n$ — нечетное, | | - если $n$ — нечетное, |
| $$ | | $$ |
| h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{2k} | | h_1 = \frac{2a\Delta\sqrt{1+m^2}}{2k} |
| $$ | | $$ |
| или с приближением $m \sim 1$ для $\Delta$ | | или с приближением $m \sim 1$ для $\Delta$ |
| $$ | | $$ |
| h_1 = \frac{2a}{2n\sqrt{1+m^2}}. | | h_1 = \frac{2a}{2n\sqrt{1+m^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При незамкнутой | | При незамкнутой |
| | | |
| $$ | | $$ |
| h_2 = 0. | | h_2 = 0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| б. Невероятно, чтобы $\tan\left(\alpha_0 + \Delta\right)$ был точно равен целое $m$ плюс простая дробь, например $0{,}03$, так как вблизи этого числа может быть сколько угодно других чисел, например чисел типа $m + 0{,}03 + \sqrt{2}/n$, $n$ — целое число, которые сколько угодно мало отличаются от $m + 0{,}03$. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел более мощно, чем множество простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. | | б. Невероятно, чтобы $\tan\left(\alpha_0 + \Delta\right)$ был точно равен целое $m$ плюс простая дробь, например $0{,}03$, так как вблизи этого числа может быть сколько угодно других чисел, например чисел типа $m + 0{,}03 + \sqrt{2}/n$, $n$ — целое число, которые сколько угодно мало отличаются от $m + 0{,}03$. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел более мощно, чем множество простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| p = S/a^2. | | p = S/a^2. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| в. В плоскости, перпендикулярной квадрату, аналогично пункту б невероятно, чтобы $\tan\left(\Delta\right)$ был точно равен простой дроби, поэтому объем куба заполняется полностью (эта плоскость также заполняется следами проекции точки на нее). | | в. В плоскости, перпендикулярной квадрату, аналогично пункту б невероятно, чтобы $\tan\left(\Delta\right)$ был точно равен простой дроби, поэтому объем куба заполняется полностью (эта плоскость также заполняется следами проекции точки на нее). |
| | | |
| $$ | | $$ |
| p = \frac{V}{a^3}. | | p = \frac{V}{a^3}. |
| $$ | | $$ |