New solution

igor edited
View solution History
revision #22190 parent #22184 ← older newer →
ru/7.2.13.md +83 −0
@@ -0,0 +1,83 @@
+### Условие
+
+$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.
+
+
+### Решение
+
+Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой (см. @emixter's альтернативное решение $7.2.10$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
+
+
+#### Фокус щели
+
+Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в задаче $7.2.12$, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат $7.2.12$.
+
+Пролетая щель протон получает поперечную скорость
+
+$$
+v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
+$$
+
+где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)
+
+Время дохода протона до плоскости симметрии щели
+
+$$
+\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
+$$
+
+с другой стороны,
+
+$$
+\tau = \frac{\ell}{v},
+$$
+
+где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).
+
+Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$
+
+$$
+\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
+$$
+
+Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.
+
+
+#### Общее фокусное
+
+Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.
+
+Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования
+
+$$
+\frac{1}{l} = \frac{1}{\ell_1} - \frac{1}{\ell_2} + \frac{d}{\ell_1\ell_2},
+$$
+
+где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).
+
+Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии $K_1,K_2$ для двух щелей разные и $K_2 - K_1 = eV$, получаем после упрощения и связи $K_1 = eV_0$
+
+$$
+\boxed{\frac{1}{l} = \frac{3V^2}{4V_0\left(V_0 + V\right)d}.}
+$$
+
+Это приводит к квадратному уравнению с корнем
+
+$$
+V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm \sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
+$$
+
+Сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d} \gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
+
+После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем
+
+$$
+\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.}
+$$
+
+
+#### Ответ
+
+$$
+V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.
+$$