| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $5.8.7.$ Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость $v$, одновременно влетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна цилиндра. Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конуса с небольшим углом $\Delta$ при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Радиус цилиндра $R$, его высота $H$. Оцените время равномерного заполнения атомами пространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стенки и в случае, когда через время $\tau \gg \frac{R}{v}, \frac{H}{v}$ после попадания на стенку атом уходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью $v$. | | $5.8.7.$ Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость $v$, одновременно влетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна цилиндра. Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конуса с небольшим углом $\Delta$ при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Радиус цилиндра $R$, его высота $H$. Оцените время равномерного заполнения атомами пространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стенки и в случае, когда через время $\tau \gg \frac{R}{v}, \frac{H}{v}$ после попадания на стенку атом уходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью $v$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| <strong>Замечание.</strong> Рисунки далее качественные — вместо сильных неравенств $(\gg)$ и дуг малых углов на них количественно соблюдаются просто неравенства и дуги не малых углов для наглядности. Путь решения просматривается и при таком виде рисунков. | | <strong>Замечание.</strong> Рисунки далее качественные — вместо сильных неравенств $(\gg)$ и дуг малых углов на них количественно соблюдаются просто неравенства и дуги не малых углов для наглядности. Путь решения просматривается и при таком виде рисунков. |
| | | |
| | | |
| #### Случай 1 | | #### Случай 1 |
| | | |
| Рассматриваем случай, когда после влета атомов в цилиндр они постоянно упруго отражаются от стенок. Атомы из цилиндра не уходят. Угол $\Delta\ll 1$. | | Рассматриваем случай, когда после влета атомов в цилиндр они постоянно упруго отражаются от стенок. Атомы из цилиндра не уходят. Угол $\Delta\ll 1$. |
| | | |
| Из цилиндрической симметрии можно рассмотреть атомы только в таком сечении цилиндра, в котором лежит ось цилиндра (эти атомы составляют так называемую двойную дугу атомов с углом $2\Delta$). Далее, из симметрии разлета относительно оси цилиндра можно рассмотреть только <i>дугу атомов</i> с углом $\Delta$. В части решения для случая $1$ будем рассматривать именно такую дугу атомов. | | Из цилиндрической симметрии можно рассмотреть атомы только в таком сечении цилиндра, в котором лежит ось цилиндра (эти атомы составляют так называемую двойную дугу атомов с углом $2\Delta$). Далее, из симметрии разлета относительно оси цилиндра можно рассмотреть только <i>дугу атомов</i> с углом $\Delta$. В части решения для случая $1$ будем рассматривать именно такую дугу атомов. |
| | | |
| В основе решения метод графических оценок [1]. Отражения разных атомов от стенок разное, поэтому используем метод «выпрямит кривое» — каждый раз при столкновении любого атома после начала движения атома по симметрии отражения продолжаем траекторию по прямой через стену в отраженный квадрат относительно стены столкновения. Все это происходит как на бесконечной сети с ячейкой $H \times R$ и измерения проводить удобно. Это используется в теории математических бильярдов [2]. | | В основе решения метод графических оценок [1]. Отражения разных атомов от стенок разное, поэтому используем метод «выпрямит кривое» — каждый раз при столкновении любого атома после начала движения атома по симметрии отражения продолжаем траекторию по прямой через стену в отраженный квадрат относительно стены столкновения. Все это происходит как на бесконечной сети с ячейкой $H \times R$ и измерения проводить удобно. Это используется в теории математических бильярдов [2]. |
| | | |
| Для дуги атомов это означает то, что в указанной сети ячеек дуга движется с сохранением своего угла $\Delta$. Конец дуги, лежащий на оси цилиндра, движется со скоростью $v$. | | Для дуги атомов это означает то, что в указанной сети ячеек дуга движется с сохранением своего угла $\Delta$. Конец дуги, лежащий на оси цилиндра, движется со скоростью $v$. |
| | | |
| Пусть дуга на сети ячеек занимает прямоугольную прозрачную <i>область</i> и ячейками эта дуга разделена на <i>фрагменты</i> (сколько ячеек содержат часть дуги, столько и фрагментов). Равномерное заполнение цилиндра будет тогда, когда дуга атомов после сворачивания области по границам ячеек до одной так называемой <i>результирующей ячейки</i> (как сворачивают лист) превратится в набор фрагментов, равномерно заполняющих эту результирующую ячейку. Все это удовлетворяет принципам изображения движения в сети ячеек (при сворачивании двух ближайших ячеек содержимое одной из ячеек переходит в другую симметрично относительно линии сворачивания). (Сворачивания осуществлены на рисунках далее программно в среде рисования Asymptote.) | | Пусть дуга на сети ячеек занимает прямоугольную прозрачную <i>область</i> и ячейками эта дуга разделена на <i>фрагменты</i> (сколько ячеек содержат часть дуги, столько и фрагментов). Равномерное заполнение цилиндра будет тогда, когда дуга атомов после сворачивания области по границам ячеек до одной так называемой <i>результирующей ячейки</i> (как сворачивают лист) превратится в набор фрагментов, равномерно заполняющих эту результирующую ячейку. Все это удовлетворяет принципам изображения движения в сети ячеек (при сворачивании двух ближайших ячеек содержимое одной из ячеек переходит в другую симметрично относительно линии сворачивания). (Сворачивания осуществлены на рисунках далее программно в среде рисования Asymptote.) |
| | | |
| Теперь рассматриваем варианты соотношения размеров цилиндра $H, R$. | | Теперь рассматриваем варианты соотношения размеров цилиндра $H, R$. |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \gg R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \gg R}$ |
| | | |
| Пусть высота цилиндра много больше его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины | | Пусть высота цилиндра много больше его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины |
| $$ | | $$ |
| H \gg R. | | H \gg R. |
| $$ | | $$ |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек с соответствующим соотношением высоты и ширины (по вертикали и горизонтали соответственно). Результирующая ячейка, заполненная фрагментами показана справа от области; увеличенная результирующая ячейка показана под областью. (На следующих рисунках аналогично.) | | На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек с соответствующим соотношением высоты и ширины (по вертикали и горизонтали соответственно). Результирующая ячейка, заполненная фрагментами показана справа от области; увеличенная результирующая ячейка показана под областью. (На следующих рисунках аналогично.) |
| \boxed{\tau \gg \frac{H}{v\Delta^2}.} | | \boxed{\tau \gg \frac{H}{v\Delta^2}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для просматривания заполнения покажем предыдущий рисунок в растяжке в несколько раз по вертикали. Что получилось после растягивания — ниже. | | Для просматривания заполнения покажем предыдущий рисунок в растяжке в несколько раз по вертикали. Что получилось после растягивания — ниже. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \ll R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \ll R}$ |
| | | |
| Пусть высота цилиндра много меньше его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины | | Пусть высота цилиндра много меньше его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины |
| $$ | | $$ |
| H \ll R. | | H \ll R. |
| $$ | | $$ |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется порядка $R$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется порядка $R$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек. | | На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из геометрии малых углов с оценками | | Из геометрии малых углов с оценками |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau \sim \frac{R}{v\Delta^2}.} | | \boxed{\tau \sim \frac{R}{v\Delta^2}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \sim R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \sim R}$ |
| | | |
| Пусть высота цилиндра порядка его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины | | Пусть высота цилиндра порядка его радиуса. Тогда ячейки сети рисования имеют соотношение высоты и ширины |
| $$ | | $$ |
| H \sim R. | | H \sim R. |
| $$ | | $$ |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H, R$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота дуги (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H, R$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек. | | На следующем рисунке показана подходящая дуга атомов на области ячеек. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из геометрии малых углов с оценками | | Из геометрии малых углов с оценками |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau \gg \frac{H}{v\Delta^2}, \frac{R}{v\Delta^2}.} | | \boxed{\tau \gg \frac{H}{v\Delta^2}, \frac{R}{v\Delta^2}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| #### Случай 2 | | #### Случай 2 |
| | | |
| В этой части делаем расчеты для такого случая. Сначала все атомы при первом касании со стеной «прицепляются» в местах касаний, а далее после того как они все прицепились, они одновременно стартуют со всевозможными равновероятными углами, каждый со своего места (равномерный разлет по пространству). Время ищем от начала этого равномерного разлета. | | В этой части делаем расчеты для такого случая. Сначала все атомы при первом касании со стеной «прицепляются» в местах касаний, а далее после того как они все прицепились, они одновременно стартуют со всевозможными равновероятными углами, каждый со своего места (равномерный разлет по пространству). Время ищем от начала этого равномерного разлета. |
| | | |
| Метод такой же, как и в прошлой части, но следим действительно за дугой из всех атомов. Соотношения размеров ячеек соответствует вариантам из первой части. | | Метод такой же, как и в прошлой части, но следим действительно за дугой из всех атомов. Соотношения размеров ячеек соответствует вариантам из первой части. |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \gg R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \gg R}$ |
| | | |
| Атомы начинают равномерный разлет практически с области порядка $R$ (они прицепились примерно на верхней крышке цилиндра — малый угол $\Delta$ и узкий цилиндр). | | Атомы начинают равномерный разлет практически с области порядка $R$ (они прицепились примерно на верхней крышке цилиндра — малый угол $\Delta$ и узкий цилиндр). |
| | | |
| На расстояниях удаления атомов от места прицепа много больше $R$ на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. | | На расстояниях удаления атомов от места прицепа много больше $R$ на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. |
| | | |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. Полуокружность расходится от ее центра со скоростью $v$ (на следующих рисунках это тоже так). | | На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. Полуокружность расходится от ее центра со скоростью $v$ (на следующих рисунках это тоже так). |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Заметим, графические оценки показали, что если полуокружность имеет высоту ${\sim}H$, то заполнение визуально не достаточно однородно. | | Заметим, графические оценки показали, что если полуокружность имеет высоту ${\sim}H$, то заполнение визуально не достаточно однородно. |
| | | |
| Из геометрии | | Из геометрии |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau' \gg \frac{H}{v}.} | | \boxed{\tau' \gg \frac{H}{v}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \ll R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \ll R}$ |
| | | |
| Атомы начинают равномерный разлет практически с очень малой области по сравнению с размерами $R, H$ (в масштабах цилиндра они прицепились примерно в точке). | | Атомы начинают равномерный разлет практически с очень малой области по сравнению с размерами $R, H$ (в масштабах цилиндра они прицепились примерно в точке). |
| | | |
| Так что сразу можно считать, что на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. | | Так что сразу можно считать, что на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. |
| | | |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $R$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $R$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. | | На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из геометрии | | Из геометрии |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau' \gg \frac{R}{v}.} | | \boxed{\tau' \gg \frac{R}{v}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| ##### Соотношение $\boldsymbol{H \sim R}$ | | ##### Соотношение $\boldsymbol{H \sim R}$ |
| | | |
| Атомы начинают равномерный разлет практически с очень малой области по сравнению с размерами $R, H$ (в масштабах цилиндра они прицепились примерно в точке). | | Атомы начинают равномерный разлет практически с очень малой области по сравнению с размерами $R, H$ (в масштабах цилиндра они прицепились примерно в точке). |
| | | |
| Так что сразу можно считать, что на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. | | Так что сразу можно считать, что на сети ячеек дуга атомов — полуокружность. |
| | | |
| Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H, R$. | | Графические оценки дают равномерное заполнение результирующей ячейки через время, когда высота полуокружности (вдоль оси цилиндра) окажется много больше $H, R$. |
| | | |
| На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. | | На следующем рисунке показана подходящая полуокружность атомов на области ячеек. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Из геометрии | | Из геометрии |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tau' \gg \frac{H}{v}, \frac{R}{v}.} | | \boxed{\tau' \gg \frac{H}{v}, \frac{R}{v}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Б.А. Мукушев. «Метод графических оценок». В: Квант 12 (1989). | | [1] Б.А. Мукушев. «Метод графических оценок». В: Квант 12 (1989). |
| | | |
| [2] Г.А. Гальперин и А.Н. Земляков. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). Библиотечка «Квант», 1990. | | [2] Г.А. Гальперин и А.Н. Земляков. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). Библиотечка «Квант», 1990. |
| | | |
| [3] Ю.М. Волченко. Научная графика на языке Asymptote. 2018. | | [3] Ю.М. Волченко. Научная графика на языке Asymptote. 2018. |
| | | |
| [4] Charles Staats III. Пособие по Asymptote. 2022. | | [4] Charles Staats III. Пособие по Asymptote. 2022. |
| | | |
| [5] Asymptote online. https://asymptote.ualberta.ca/. | | [5] Asymptote online. https://asymptote.ualberta.ca/. |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
