$1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
### Решение:
Используя результат, полученный в [1.3.6](../1.3.6), в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:
$$
v_x = v \\cos\\alpha
$$
$$
v_y = v \\sin\\alpha - gt
$$
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:
$$
x = vt \\cos\\alpha
$$
$$
y = vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}
$$
В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:
$$
L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2
$$
$$
L_M = (vt \\cos\\alpha )^2 + \\left(vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}\\right)^2
$$
Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:
$$
t \\in \\left[t_1;\\min\\left(t_2, \\frac{2v\\sin\\alpha}{g}\\right)\\right],
Векторный метод. Вычисляем по векторным формулам. Условие приближения к точке вылета
+
+
$$
+
\vec V\cdot\vec r < 0,
+
$$
+
+
где $\vec V, \vec r$ есть скорость и радиус-вектор тела в произвольный момент после начала (скалярное произведение).
+
+
С учетом $\vec V = \vec v + \vec gt$ и $\vec r = \vec vt + \dfrac{\vec gt^2}{2}$ заменяем в предыдущей $\vec V, \vec r$ и составляем неравенство относительно $t$.
+
+
Получаем, например, так
+
+
$$
+
t\left(v^2 - \frac{3}{2}vg\sin\alpha\cdot t + \frac{g^2t^2}{2}\right) < 0.
+
$$
+
+
Отсюда либо $t < 0$ и скобка положительна (что не подходит), либо $t > 0$ и скобка отрицательна.
+
+
Находим, когда скобка отрицательна, то есть
+
+
$$
+
v^2 - \frac{3}{2}vg\sin\alpha\cdot t + \frac{g^2t^2}{2} < 0.\tag{1}
(оба корня положительны), на числовой прямой находим по смене знаков параболы при переходе корня на прямой, что время, когда $(1)$ отрицательно, лежит между корнями после упрощения
+
+
$$
+
T = \tau_1 - \tau_2 = \frac{v}{g}\sqrt{9\sin^2\alpha - 8}
+
$$
+
+
с ограничением $\sin\alpha\geqslant\sqrt{8/9}$. Из физических соображений отсутствие корней при $\sin\alpha < \sqrt{8/9}$ с отсутствием смены знака параболы для $(1)$ равносильно постоянному удалению тела от начала движения, то есть в этом случае $T = 0$.
+
+
+
#### Литература
+
+
[1] И. Яковлев. Векторы и механика. mathus.ru.
+
+
[2] И. Яковлев. Баллистика. Векторы. mathus.ru.
+
+
[3] Геометрические идеи при решении баллистических задач. А. А. Коновалов. Потенциал, 2013, № 1.
+
+
#### Ответ:
$t=(V/g)\\sqrt{9\\sin^{2}\\alpha -8}$ при $\\sin\\alpha >\\sqrt{8/9};$
$ t=0\\text{ при }\\sin\\alpha <\\sqrt{8/9}.$
−
−
### Условие:
### Условие:
$1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
$1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
### Решение:
### Решение:
Используя результат, полученный в [1.3.6](../1.3.6), в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:
Используя результат, полученный в [1.3.6](../1.3.6), в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:
$$
$$
v_x = v \\cos\\alpha
v_x = v \\cos\\alpha
$$
$$
$$
$$
v_y = v \\sin\\alpha - gt
v_y = v \\sin\\alpha - gt
$$
$$
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:
$$
$$
x = vt \\cos\\alpha
x = vt \\cos\\alpha
$$
$$
$$
$$
y = vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}
y = vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}
$$
$$
В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:
В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:
$$
$$
L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2
L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2
$$
$$
$$
$$
L_M = (vt \\cos\\alpha )^2 + \\left(vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}\\right)^2
L_M = (vt \\cos\\alpha )^2 + \\left(vt \\sin\\alpha - \\frac{gt^2}{2}\\right)^2
$$
$$
Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:
Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:
$$
$$
t \\in \\left[t_1;\\min\\left(t_2, \\frac{2v\\sin\\alpha}{g}\\right)\\right],
t \\in \\left[t_1;\\min\\left(t_2, \\frac{2v\\sin\\alpha}{g}\\right)\\right],
Векторный метод. Вычисляем по векторным формулам. Условие приближения к точке вылета
$$
\vec V\cdot\vec r < 0,
$$
где $\vec V, \vec r$ есть скорость и радиус-вектор тела в произвольный момент после начала (скалярное произведение).
С учетом $\vec V = \vec v + \vec gt$ и $\vec r = \vec vt + \dfrac{\vec gt^2}{2}$ заменяем в предыдущей $\vec V, \vec r$ и составляем неравенство относительно $t$.
Получаем, например, так
$$
t\left(v^2 - \frac{3}{2}vg\sin\alpha\cdot t + \frac{g^2t^2}{2}\right) < 0.
$$
Отсюда либо $t < 0$ и скобка положительна (что не подходит), либо $t > 0$ и скобка отрицательна.
Находим, когда скобка отрицательна, то есть
$$
v^2 - \frac{3}{2}vg\sin\alpha\cdot t + \frac{g^2t^2}{2} < 0.\tag{1}
(оба корня положительны), на числовой прямой находим по смене знаков параболы при переходе корня на прямой, что время, когда $(1)$ отрицательно, лежит между корнями после упрощения
$$
T = \tau_1 - \tau_2 = \frac{v}{g}\sqrt{9\sin^2\alpha - 8}
$$
с ограничением $\sin\alpha\geqslant\sqrt{8/9}$. Из физических соображений отсутствие корней при $\sin\alpha < \sqrt{8/9}$ с отсутствием смены знака параболы для $(1)$ равносильно постоянному удалению тела от начала движения, то есть в этом случае $T = 0$.
#### Литература
[1] И. Яковлев. Векторы и механика. mathus.ru.
[2] И. Яковлев. Баллистика. Векторы. mathus.ru.
[3] Геометрические идеи при решении баллистических задач. А. А. Коновалов. Потенциал, 2013, № 1.
#### Ответ:
#### Ответ:
$t=(V/g)\\sqrt{9\\sin^{2}\\alpha -8}$ при $\\sin\\alpha >\\sqrt{8/9};$
$t=(V/g)\\sqrt{9\\sin^{2}\\alpha -8}$ при $\\sin\\alpha >\\sqrt{8/9};$
