| @@ -1,9 +1,35 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $8.3.28.$ Две батареи с ЭДС $\varepsilon_1 = 20 \,В, \,\varepsilon_2 = 30 \,В$ и внутренними сопротивлениями соответственно $r_1 = 4 \,Ом$, $r_2 = 60 \,Ом$ соединены параллельно. Каковы параметры $\varepsilon $ и $r$ генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке? |
| $8.3.28.$ Две батареи с ЭДС $\mathscr E_1 = 20 \,В, \,\mathscr E_2 = 30 \,В$ и внутренними сопротивлениями соответственно $r_1 = 4 \,Ом$, $r_2 = 60 \,Ом$ соединены параллельно. Каковы параметры $\mathscr E$ и $r$ генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке? |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Альтернативное решение |
| |
| |
| |
| Батареи соединены параллельно так, что их минусы между собой соединены и их плюсы между собой соединены (иначе будет состояние цепи обычно считаемое аварийным с относительно большим током, что подтверждается расчетом). Нагрузку подключаем к точкам соединения их минусов $A$ и плюсов $B$. |
| |
| |
| |
| Метод эквивалентной батареи (генератора). Если считаем, что между точками $A,B$ вместо двух батарей может быть одна <i>эквивалентная</i>, то, во-первых, ясно, что если нагрузка не подключена, то напряжение на выводах $A,B$ равно ЭДС $\mathscr E$ этой эквивалентной батареи. То есть в цепи из параллельных батарей, к которым ничего не подключено, находим напряжение на $A,B$, что будет равно $\mathscr E$. Расчет дает для этого напряжения по сказанному простыми возможными методами |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \mathscr E = \left(\mathscr E_1r_2+\mathscr E_2r_1\right)/(r_1+r_2) \approx 21~\text{В}. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Во-вторых, сопротивление эквивалентной батареи можно найти как $r = \mathscr E/I_s$ (где $I_s$ есть ток короткого замыкания этой эквивалентной батареи). А ток короткого замыкания есть ток через нагрузку с нулевым сопротивлением; вот и подключаем к $A,B$ идеальный провод и считаем, что за ток в нем получится (возможными методами): |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| I_s = \frac{\mathscr E_1}{r_1} + \frac{\mathscr E_2}{r_2}. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Отсюда с учетом найденной $\mathscr E$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| r = \frac{r_1r_2}{r_1 + r_2} = 3{,}75~\text{Ом}. |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Доказательство метода эквивалентной батареи можно провести через утверждение, что для произвольной цепи из резисторов и батарей общее решение полной системы по правилам Кирхгофа относительно выбранного участка $n$ с током $I_n$ и напряжением $U_n$ имеет вид $AI_n + U_n = B$, где $A,B$ есть постоянные, определяемые сопротивлениями резисторов и ЭДС батарей. |
| |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_1r_2+\mathcal{E}_2r_1)/(r_1+r_2)=21\mathrm{~B,}$ $r=r_1r_2/(r_1+r_2)=3{,}75\mathrm{~Ом}.$ |
| #### Ответ: $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_1r_2+\mathcal{E}_2r_1)/(r_1+r_2)=21\mathrm{~B,}$ $r=r_1r_2/(r_1+r_2)=3{,}75\mathrm{~Ом}.$ |
