11.5.11∗. Вычислите индуктивность длинного соленоида радиуса $r$ и длины $l$, помещенного внутрь длинной сверхпроводящей трубы радиуса $R$ вдоль ее оси. Число витков соленоида $N$.
Решение
Считаем, что при нулевом токе соленоида магнитный поток через поперечное сечение сверхпровод. трубы равен нулю.
По сохранению магн. потока через попереченое сечение сверхпровод. трубы, которое проходит через соленоид
$$\boxed{B_t\pi R^2 = B_s\pi r^2.}$$
Потокосцепление (поток) через соленоид
$$\Phi_s = BN\pi r^2,$$
где $B = B_s - B_t$ есть результирующее поле в соленоиде.
Используя рамочную формулу и связь индукции с током в соленоиде $B_s = \mu_0\dfrac{N}{l}I$, получаем
[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.
Альтернативное решение
Пусть по виткам длинного соленоида течет ток $I$. Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндрической системы. Пусть $B_{1}$ - индукция магнитного поля внутри соленоида, а $B_{2}$ - индукция магнитного поля в пространстве между соленоидом и сверхпроводящей трубой. В толще самого сверхпроводника магнитное поле равно нулю.
Поскольку труба является сверхпроводящей, полный магнитный поток $\Phi_{п}$ через любое её поперечное сечение должен оставаться неизменным. До включения тока поток был равен нулю, следовательно:
Выберем замкнутый прямоугольный контур, одна сторона которого длины $l$ проходит внутри соленоида вдоль его оси, а параллельная ей возвращается через зазор между соленоидом и трубой. Тогда по теореме Ампера:
Индуктивность $L$ определяется как отношение полного потокосцепления $\Psi$ соленоида к силе тока $I$ в нем. Полное потокосцепление равно магнитному потоку сквозь один виток, умноженному на общее число витков $N$:
