Edits to “Максимальное магн. давление”, “Литература”, “Ответ”

igor edited Nov 7, 2026, 11:25 AM

View solution History

revision #22269 parent #22268 ← older

ru/11.5.26.md +5 −14

			### Условие

			$11.5.26^*.$ Внутри проводящей цилиндрической оболочки создано магнитное поле. Оболочке сообщается скорость $v$ таким образом, что она начинает сжиматься к оси, не теряя симметрии. Найдите максимальную индукцию магнитного поля, которая может быть получена таким способом, если начальная индукция $B_0 = 10~\text{Тл}$, $v = 3~\text{км/с}$, начальный радиус оболочки $r_0 = 20~\text{см}$, ее толщина $\Delta = 0{,}5~\text{см}$, плотность материала оболочки $\rho = 8{,}9~\text{г/см$^3$}$. Найдите максимальное магнитное давление, действующее на оболочку. Электрическим сопротивлением оболочки пренебречь.


			### Решение


			#### Максимальное поле

			Запишем сохранение энергии после небольшого сжатия с начала процесса, когда площадь сечения трубы изменилась с $S$ до $s$ ($s < S$):

			$$
			\frac{B_0^2}{2\mu_0}Sl + \frac{mv^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0}sl + \frac{mu^2}{2},
			$$

			где $l$ есть длина трубы, $m$ есть масса трубы, $u$ есть скорость оболочки (по симметрии одинакова во всех точках).

			С учетом сохранения потока через сечение трубы

			$$
			B_0S = Bs
			$$

			и

			$$
			m = \Delta 2\pi r_0\rho l,\quad S = \pi r_0^2
			$$

			получаем

			$$
			\boxed{B = B_0 + \frac{\mu_0}{B_0r_0}2\Delta\rho\left(v^2 - u^2\right).}
			$$

			И максимум при $u = 0$ (по сохранению потока индукция при сжатии растет, значит скорость $u < v$ при каждом небольшом сжатии)

			$$
			B_\text{max} = B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0) \sim 500~\text{Тл}.
			$$


			#### Максимальное магн. давление
		@@ -45,53 +45,44 @@Максимальное магн. давление

			Выберем произвольную элементарную площадку на трубе длиной $dy$ вдоль оси трубы и длиной $dx$ вдоль тока, циркулирующего в трубе по окружностям в плоскостях, поперечных оси трубы.

		−	Эта элементарная площадка близи себя создает индукцию с одинаковым модулем по обе стороны от нее (внутри и снаружи трубы).
		+	Эта элементарная площадка близи себя создает индукцию с одинаковым модулем по обе стороны от нее, но с противоположными направлениями (внутри и снаружи трубы; задача $9.3.3$).

			Также по обе стороны от нее индукция создается всеми остальными внешними токами по отношению к этой площадке. И вследствие малости площадки по обе стороны вблизи от нее поле остальных токов <i>постоянно</i> по величине и направлению.

		−	Результирующая индукция внутри трубы равна $B$ (труба длинная считаем), снаружи результрующая равна $0$. Из сказанного выходит, что поле от остальных токов через площадку равно $B/2$.
		+	Результирующая индукция внутри трубы равна $B$ (труба длинная считаем), снаружи результрующая равна $0$. Из сказанного выходит, что поле от остальных токов через площадку равно $B/2$, и поле от самой площадки равно вблизи нее по модулю $B/2$.

			Давление на площадку магнитное создается силой Ампера от поля внешних к площадке токов

			$$
			p = \frac{d^2F_\text{A}}{dy\cdot dx} =
		−	\frac{dI\cdot\frac{B}{2}\cdot dx}{dy\cdot dx} = \frac{dI\cdot\frac{B}{2}}{dy}.
		+	\frac{dI\cdot\dfrac{B}{2}\cdot dx}{dy\cdot dx} = \frac{dI\cdot\dfrac{B}{2}}{dy}.
			$$

			C учетом

			$$
		−	dI = \frac{B\,dy}{\mu_0}
		+	dI = \frac{2\dfrac{B}{2}\,dy}{\mu_0}
			$$

			получим

			$$
			p = \frac{B^2}{2\mu_0}\quad \Rightarrow\quad p_\text{max} = \frac{B_\text{max}^2}{2\mu_0} \sim 10^{11}~\text{Па}.
			$$

		−	![\|1842x791, 61%](../../img/11.5.26/scan-0.png)

		−	![\|1865x1159, 61%](../../img/11.5.26/scan-1.png)
		−
		−	![\|1672x347, 61%](../../img/11.5.26/scan-2.png)
		−
		−	![\|1672x876, 61%](../../img/11.5.26/scan-3.png)
		−
		−
			Примечание: в ответах задачника мелкие опечатки.


			#### Литература

		−
			[1] А.Черноцан. Давление поля. Квант 6 (1999).

			[2] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.


			#### Ответ

			$$
		−	B=B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0),\quad ~~P=B~~^2/2\mu_0.
		+	B_\text{max}=B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0),\quad p_\text{max}=B_\text{max}^2/2\mu_0.
			$$

	### Условие		### Условие

	$11.5.26^*.$ Внутри проводящей цилиндрической оболочки создано магнитное поле. Оболочке сообщается скорость $v$ таким образом, что она начинает сжиматься к оси, не теряя симметрии. Найдите максимальную индукцию магнитного поля, которая может быть получена таким способом, если начальная индукция $B_0 = 10~\text{Тл}$, $v = 3~\text{км/с}$, начальный радиус оболочки $r_0 = 20~\text{см}$, ее толщина $\Delta = 0{,}5~\text{см}$, плотность материала оболочки $\rho = 8{,}9~\text{г/см$^3$}$. Найдите максимальное магнитное давление, действующее на оболочку. Электрическим сопротивлением оболочки пренебречь.		$11.5.26^*.$ Внутри проводящей цилиндрической оболочки создано магнитное поле. Оболочке сообщается скорость $v$ таким образом, что она начинает сжиматься к оси, не теряя симметрии. Найдите максимальную индукцию магнитного поля, которая может быть получена таким способом, если начальная индукция $B_0 = 10~\text{Тл}$, $v = 3~\text{км/с}$, начальный радиус оболочки $r_0 = 20~\text{см}$, ее толщина $\Delta = 0{,}5~\text{см}$, плотность материала оболочки $\rho = 8{,}9~\text{г/см$^3$}$. Найдите максимальное магнитное давление, действующее на оболочку. Электрическим сопротивлением оболочки пренебречь.


	### Решение		### Решение


	#### Максимальное поле		#### Максимальное поле

	Запишем сохранение энергии после небольшого сжатия с начала процесса, когда площадь сечения трубы изменилась с $S$ до $s$ ($s < S$):		Запишем сохранение энергии после небольшого сжатия с начала процесса, когда площадь сечения трубы изменилась с $S$ до $s$ ($s < S$):

	$$		$$
	\frac{B_0^2}{2\mu_0}Sl + \frac{mv^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0}sl + \frac{mu^2}{2},		\frac{B_0^2}{2\mu_0}Sl + \frac{mv^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0}sl + \frac{mu^2}{2},
	$$		$$

	где $l$ есть длина трубы, $m$ есть масса трубы, $u$ есть скорость оболочки (по симметрии одинакова во всех точках).		где $l$ есть длина трубы, $m$ есть масса трубы, $u$ есть скорость оболочки (по симметрии одинакова во всех точках).

	С учетом сохранения потока через сечение трубы		С учетом сохранения потока через сечение трубы

	$$		$$
	B_0S = Bs		B_0S = Bs
	$$		$$

	и		и

	$$		$$
	m = \Delta 2\pi r_0\rho l,\quad S = \pi r_0^2		m = \Delta 2\pi r_0\rho l,\quad S = \pi r_0^2
	$$		$$

	получаем		получаем

	$$		$$
	\boxed{B = B_0 + \frac{\mu_0}{B_0r_0}2\Delta\rho\left(v^2 - u^2\right).}		\boxed{B = B_0 + \frac{\mu_0}{B_0r_0}2\Delta\rho\left(v^2 - u^2\right).}
	$$		$$

	И максимум при $u = 0$ (по сохранению потока индукция при сжатии растет, значит скорость $u < v$ при каждом небольшом сжатии)		И максимум при $u = 0$ (по сохранению потока индукция при сжатии растет, значит скорость $u < v$ при каждом небольшом сжатии)

	$$		$$
	B_\text{max} = B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0) \sim 500~\text{Тл}.		B_\text{max} = B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0) \sim 500~\text{Тл}.
	$$		$$


	#### Максимальное магн. давление		#### Максимальное магн. давление
	@@ -45,53 +45,44 @@Максимальное магн. давление

	Выберем произвольную элементарную площадку на трубе длиной $dy$ вдоль оси трубы и длиной $dx$ вдоль тока, циркулирующего в трубе по окружностям в плоскостях, поперечных оси трубы.		Выберем произвольную элементарную площадку на трубе длиной $dy$ вдоль оси трубы и длиной $dx$ вдоль тока, циркулирующего в трубе по окружностям в плоскостях, поперечных оси трубы.

	Эта элементарная площадка близи себя создает индукцию с одинаковым модулем по обе стороны от нее (внутри и снаружи трубы).		Эта элементарная площадка близи себя создает индукцию с одинаковым модулем по обе стороны от нее, но с противоположными направлениями (внутри и снаружи трубы; задача $9.3.3$).

	Также по обе стороны от нее индукция создается всеми остальными внешними токами по отношению к этой площадке. И вследствие малости площадки по обе стороны вблизи от нее поле остальных токов <i>постоянно</i> по величине и направлению.		Также по обе стороны от нее индукция создается всеми остальными внешними токами по отношению к этой площадке. И вследствие малости площадки по обе стороны вблизи от нее поле остальных токов <i>постоянно</i> по величине и направлению.

	Результирующая индукция внутри трубы равна $B$ (труба длинная считаем), снаружи результрующая равна $0$. Из сказанного выходит, что поле от остальных токов через площадку равно $B/2$.		Результирующая индукция внутри трубы равна $B$ (труба длинная считаем), снаружи результрующая равна $0$. Из сказанного выходит, что поле от остальных токов через площадку равно $B/2$, и поле от самой площадки равно вблизи нее по модулю $B/2$.

	Давление на площадку магнитное создается силой Ампера от поля внешних к площадке токов		Давление на площадку магнитное создается силой Ампера от поля внешних к площадке токов

	$$		$$
	p = \frac{d^2F_\text{A}}{dy\cdot dx} =		p = \frac{d^2F_\text{A}}{dy\cdot dx} =
	\frac{dI\cdot\frac{B}{2}\cdot dx}{dy\cdot dx} = \frac{dI\cdot\frac{B}{2}}{dy}.		\frac{dI\cdot\dfrac{B}{2}\cdot dx}{dy\cdot dx} = \frac{dI\cdot\dfrac{B}{2}}{dy}.
	$$		$$

	C учетом		C учетом

	$$		$$
	dI = \frac{B\,dy}{\mu_0}		dI = \frac{2\dfrac{B}{2}\,dy}{\mu_0}
	$$		$$

	получим		получим

	$$		$$
	p = \frac{B^2}{2\mu_0}\quad \Rightarrow\quad p_\text{max} = \frac{B_\text{max}^2}{2\mu_0} \sim 10^{11}~\text{Па}.		p = \frac{B^2}{2\mu_0}\quad \Rightarrow\quad p_\text{max} = \frac{B_\text{max}^2}{2\mu_0} \sim 10^{11}~\text{Па}.
	$$		$$

	![\|1842x791, 61%](../../img/11.5.26/scan-0.png)

	![\|1865x1159, 61%](../../img/11.5.26/scan-1.png)

	![\|1672x347, 61%](../../img/11.5.26/scan-2.png)

	![\|1672x876, 61%](../../img/11.5.26/scan-3.png)


	Примечание: в ответах задачника мелкие опечатки.		Примечание: в ответах задачника мелкие опечатки.


	#### Литература		#### Литература


	[1] А.Черноцан. Давление поля. Квант 6 (1999).		[1] А.Черноцан. Давление поля. Квант 6 (1999).

	[2] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.		[2] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	B=B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0),\quad ~~P=B~~^2/2\mu_0.		B_\text{max}=B_0+2\mu_0\rho v^2\Delta/(B_0r_0),\quad p_\text{max}=B_\text{max}^2/2\mu_0.
	$$		$$