$3.8.19.$ Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком коридоре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходящей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чем тут дело? Частота волны $1~\text{МГц}$, скорость звука в материале экрана $5~\text{км/с}$. Найдите толщину звукоизолирующих экранов.
### Решение
Эта задача есть развитие задач $3.8.17,\ 3.8.18$. Рассуждаем в терминах амплитуды.
Рассмотрим первый случай ослабления.
Сначала рисунок-схема к тексту далее.
Пусть волна только вошла в среду $2$ (экран). Эта пройденная волна дойдет до правой границы экрана (коротко — граница) отразится от нее и пойдет к левой границе (входная граница для основной волны), при этом знак амплитуды не меняется (задача $3.8.6$). Если она в момент касания левой границы в противофазе накладывается на проходящую основную, то мы получаем ослабленную результирующую амплитуду как разность
- амплитуды проходящей от основной
- и амплитуды отраженной $2$ раза от проходящей от основной.
Это только после первого цикла типа туда-сюда для волны внутри экрана. Остается посмотреть, что будет при каждом следующем цикле.
#### Циклы
Смотрим циклы. Множители $\rho c$ обозначены $x$.
- Цикл $0$. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.
- Цикл $1$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) пройденная на предыдущем цикле, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
- Цикл $2$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) волна с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^*$, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
Поскольку волновое сопротивление материала экрана $Z_2 = \rho_2 c_2$ много больше, чем у воздуха $Z_1 = \rho_1 c_1$, коэффициент отражения на каждой границе экрана близок к единице:
+
+
$$
+
r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}\approx 1.
+
$$
+
+
Поэтому волна многократно отражается внутри экрана, и прошедшая волна определяется интерференцией волн, совершивших разное число проходов туда и обратно. Оба внутренних отражения (экран $\to$ воздух) одинаковы, поэтому скачки фазы при них компенсируются, и разность фаз соседних волн определяется только путём $2l$ в материале.
+
+
Частота при переходе через границу не меняется, поэтому длина волны в экране
Экран толщины $l_1$ сильно ослабляет волну, значит, соседние волны внутри него в противофазе:
+
+
$$
+
\frac{4\pi l_1}{\lambda} = \pi(2k + 1).
+
$$
+
+
Экран двойной толщины пропускает волну почти без ослабления, значит, волны внутри него складываются в фазе:
+
+
$$
+
\frac{8\pi l_1}{\lambda} = 2\pi m.
+
$$
+
+
Из первого условия $l_1 = \dfrac{(2k+1)\lambda}{4}$, подстановка во второе даёт $m = 2k + 1$, что выполняется при любом целом $k \geq 0$. Наименьшие толщины получаются при $k = 0$:
Ослабление при толщине $l_1$ получается именно «во много раз», потому что $r \approx 1$ и гасящие друг друга волны имеют почти равные амплитуды. При малом различии импедансов минимум прохождения был бы неглубоким.
$3.8.19.$ Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком коридоре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходящей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чем тут дело? Частота волны $1~\text{МГц}$, скорость звука в материале экрана $5~\text{км/с}$. Найдите толщину звукоизолирующих экранов.
$3.8.19.$ Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком коридоре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходящей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чем тут дело? Частота волны $1~\text{МГц}$, скорость звука в материале экрана $5~\text{км/с}$. Найдите толщину звукоизолирующих экранов.
### Решение
### Решение
Эта задача есть развитие задач $3.8.17,\ 3.8.18$. Рассуждаем в терминах амплитуды.
Эта задача есть развитие задач $3.8.17,\ 3.8.18$. Рассуждаем в терминах амплитуды.
Рассмотрим первый случай ослабления.
Рассмотрим первый случай ослабления.
Сначала рисунок-схема к тексту далее.
Сначала рисунок-схема к тексту далее.
Пусть волна только вошла в среду $2$ (экран). Эта пройденная волна дойдет до правой границы экрана (коротко — граница) отразится от нее и пойдет к левой границе (входная граница для основной волны), при этом знак амплитуды не меняется (задача $3.8.6$). Если она в момент касания левой границы в противофазе накладывается на проходящую основную, то мы получаем ослабленную результирующую амплитуду как разность
Пусть волна только вошла в среду $2$ (экран). Эта пройденная волна дойдет до правой границы экрана (коротко — граница) отразится от нее и пойдет к левой границе (входная граница для основной волны), при этом знак амплитуды не меняется (задача $3.8.6$). Если она в момент касания левой границы в противофазе накладывается на проходящую основную, то мы получаем ослабленную результирующую амплитуду как разность
- амплитуды проходящей от основной
- амплитуды проходящей от основной
- и амплитуды отраженной $2$ раза от проходящей от основной.
- и амплитуды отраженной $2$ раза от проходящей от основной.
Это только после первого цикла типа туда-сюда для волны внутри экрана. Остается посмотреть, что будет при каждом следующем цикле.
Это только после первого цикла типа туда-сюда для волны внутри экрана. Остается посмотреть, что будет при каждом следующем цикле.
#### Циклы
#### Циклы
Смотрим циклы. Множители $\rho c$ обозначены $x$.
Смотрим циклы. Множители $\rho c$ обозначены $x$.
- Цикл $0$. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
- Цикл $0$. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.
где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.
- Цикл $1$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) пройденная на предыдущем цикле, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
- Цикл $1$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) пройденная на предыдущем цикле, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
- Цикл $2$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) волна с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^*$, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
- Цикл $2$. Он заканчивается таким наложением. Пройденная в среду $2$ от основной минус(!) волна с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^*$, $2$ раза отраженная при одинаковых условиях:
Поскольку волновое сопротивление материала экрана $Z_2 = \rho_2 c_2$ много больше, чем у воздуха $Z_1 = \rho_1 c_1$, коэффициент отражения на каждой границе экрана близок к единице:
$$
r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}\approx 1.
$$
Поэтому волна многократно отражается внутри экрана, и прошедшая волна определяется интерференцией волн, совершивших разное число проходов туда и обратно. Оба внутренних отражения (экран $\to$ воздух) одинаковы, поэтому скачки фазы при них компенсируются, и разность фаз соседних волн определяется только путём $2l$ в материале.
Частота при переходе через границу не меняется, поэтому длина волны в экране
Экран толщины $l_1$ сильно ослабляет волну, значит, соседние волны внутри него в противофазе:
$$
\frac{4\pi l_1}{\lambda} = \pi(2k + 1).
$$
Экран двойной толщины пропускает волну почти без ослабления, значит, волны внутри него складываются в фазе:
$$
\frac{8\pi l_1}{\lambda} = 2\pi m.
$$
Из первого условия $l_1 = \dfrac{(2k+1)\lambda}{4}$, подстановка во второе даёт $m = 2k + 1$, что выполняется при любом целом $k \geq 0$. Наименьшие толщины получаются при $k = 0$:
Ослабление при толщине $l_1$ получается именно «во много раз», потому что $r \approx 1$ и гасящие друг друга волны имеют почти равные амплитуды. При малом различии импедансов минимум прохождения был бы неглубоким.
