Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.38.$ Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: $f = γrv$. Капли радиуса

$r = 0.1 \,мм$, падая с большой высоты, у земли имеют скорость около $1 \,м/с$. Какую
скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? в десять раз
меньше?

Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью?

Оцените скорость капли радиуса $r = 1 \,мм$ при падении ее с большой высоты.

  <h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol.png"
          loading="lazy" width="80" />
        <figcaption>
          Силы действующие на каплю
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>   
    На падающую каплю действуют две силы: постоянная сила тяжести, ускоряющая движение капли, и сила сопротивления воздуха, замедляющая ее движение и растущая с ростом скорости капли. Сила сопротивления воздуха растет до тех пор, пока она не стапет равной силе тяжести. Дальше прекращается изменение скорости, и падение капель происходит с постоянной скоростью.
    </p>

     <p>
    Запишем уравнение через длительный промежуток времени:
    $$mg=γrv\\;(1)$$
    Найдем $m$ через объем $V$:
    $$m=ρV=\frac{4}{3} ρ \pi r^3$$
    И подставим в $(1)$:
    $$\frac{4}{3} ρ \pi r^3 g=γrv$$
    Отсюда:
    $$v = \frac{4}{3} \frac{ρ \pi g}{γ} \cdot r^2 =\alpha r^2\\;(2)$$
    $$\alpha = \frac{4}{3} \frac{ρ \pi g}{γ} =\frac{v}{r^2}=10^8 \\,\frac{1}{м \cdot с}$$
    Подставлем и находим ответ
    $$v(\frac{r}{2}) = \alpha \frac{r^2}{4}=0.25\\, м/с$$
    $$v(\frac{r}{10}) = \alpha \frac{r^2}{100}=0.01\\, м/с$$
    </p>

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
      $$v_1 ≈ 0.25 \\,м/с;$$ 
      $$v_2 ≈ 0.01 \\,м/с$$
     </p>

     
<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>