Решение задач из Савченко О.Я.

Условие:

\$2.3.48^*.\$ На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы $m_1$ и $m_2$, соединенных недеформированной пружиной. Определите, какую наименьшую постоянную силу нужно приложить к левому бруску, чтобы сдвинулся и правый, если коэффициент трения грузов о плоскость $\mu$.

---

Решение:

              <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <img class="ScreenS" src="forces.jpg" style="max-width: 60%;">
              </div>

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Силы действующие на два бруска
                    </center>
                 </p>
              </div>   

"Энергетическое" решение

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Запишем закон изменения механической энергии для бруска массой $m_1$ в тот промежуток времени, когда брусок массой $m_1$ уже находится в движении, а брусок массой $m_2$ — ещё нет: <br><br>
                       $\frac{m_1v_1^2}{2}=\mu m_1gx + \frac{(F_a - \mu m_1g)x}{2} - \mu m_1gx -\frac{kx^2}{2} \\;(1)$ <br><br>

Здесь $F_a$ — мгновенная сила, действующая в момент растяжения пружины на длину $x$, а $\mu m_1gx + \frac{(F_a - \mu m_1g)x}{2}$ — работа приложенной силы до момента растяжения пружины на длину $x$ (cм. график зависимости силы $F$ от расстояния $x$).






Отсюда следует, что при $F_a$ = $F$, где $F$ — модуль минимальной силы, которую надо приложить к телу массой $m_2$, его скорость будет стремиться к нулю. Учитывая это, будем рассматривать предельный случай:


$0=\mu m_1gx + \frac{(F - \mu m_1g)x}{2} - \mu m_1gx -\frac{kx^2}{2} \;(2)$


Преобразуем это выражение:


$F - \mu m_1g = {kx} \;(3)$


Далее решение идёт полностью по аналогии с "силовым" подходом (после получения уравнения $(1)$ в "силовом" способе).

              <h3>
                 "Силовой" подход
              </h3>

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Записывая второй закон Ньютона:<br><br>
                       $m_1a_1=F-\mu m_1 g -kx\\;(1)$<br><br>
                       $m_2a_2=kx-\mu m_2 g\\;(2)$<br><br>
                       Откуда следует, что минимальная сила $F$ будет при отсутствии ускорения<br>($a_1=0,a_2=0$)<br><br>
                       Подставляя $(1)$ во $(2)$:<br><br>
                       $\begin{aligned}&F_{\min}=\mu m_{2}g+\mu m_{1}g=\mu g(m_{1}+m_{2})\\.\end{aligned}$
                    </center>
                 </p>
              </div>   

              <h3>
              Ответ: $F = \mu g(m_1 + m_2)$
              <h3>
              </h3>
           </div>
        </div>
     </div>
     <a href="#" class="back-to-top affix">
     ↑ наверх
     </a>
  </div>
  </div>		
  <footer class="row container">
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-left">
           <p>
              <small>
              © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024<br>
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-6">
        <div class="footer-middle">
           <p>
              <small>
              Все права принадлежат авторам.<br>
              Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br>
              aliaksandr@savchenkosolutions.com<br>
              <i>E = mc<sup>2</sup></i>.
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-right">
           <div class="pull-right">
           </div>
        </div>
     </div>
  </footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function(){
        	setTimeout(function () {
          		$('.back-to-top').affix();
        	}, 100);
     
     });
  </script>