2.3.48 | before revision #6317 | Savchenko Solutions

Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

     <div id="main" class="col col-lg-9">
        <div class="row">
           <div class="col caption">
              <h2>
                 <a href="/ru#2.3">←Назад</a>
              </h2>
           </div>
        </div>
        <div id="1" class="row odd">
           <div class="col col-lg-12">
              <h3>
                 Условие:
              </h3>
              <div class="task">
                 <p>                                                         
                    \\(2.3.48^*.\\) На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы $m_1$ и $m_2$, соединенных недеформированной пружиной. Определите, какую наименьшую постоянную силу нужно приложить к левому бруску, чтобы сдвинулся и правый,

если коэффициент трения грузов о плоскость $\mu$ .

Решение

              <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <img class="ScreenS" src="forces.jpg" style="max-width: 60%;">
              </div>

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Силы действующие на два бруска
                    </center>
                 </p>
              </div>

"Энергетическое" решение

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Запишем закон изменения механической энергии для бруска массой $m_1$ в тот промежуток времени, когда брусок массой $m_1$ уже находится в движении, а брусок массой $m_2$ — ещё нет: <br><br>
                       $\frac{m_1v_1^2}{2}=\mu m_1gx + \frac{(F_a - \mu m_1g)x}{2} - \mu m_1gx -\frac{kx^2}{2} \\;(1)$ <br><br>

Здесь $$F_a$$ — мгновенная сила, действующая в момент растяжения пружины на длину $$x$$ , а $\mu m_1gx + \frac{(F_a - \mu m_1g)x}{2}$ — работа приложенной силы до момента растяжения пружины на длину $$x$$ (cм. график зависимости силы $$F$$ от расстояния $$x$$ ).

Отсюда следует, что при $$F_a$$ = $$F$$ , где $$F$$ — модуль минимальной силы, которую надо приложить к телу массой $$m_2$$ , его скорость будет стремиться к нулю. Учитывая это, будем рассматривать предельный случай:

$0=\mu m_1gx + \frac{(F - \mu m_1g)x}{2} - \mu m_1gx -\frac{kx^2}{2} \;(2)$

Преобразуем это выражение:

$F - \mu m_1g = {kx} \;(3)$

Далее решение идёт полностью по аналогии с "силовым" подходом (после получения уравнения $$(1)$$ в "силовом" способе).

              <h3>
                 "Силовой" подход
              </h3>

               <div class="solutions" style="padding: 0;">
                 <p class="TxtSolutions">  
                    <center>
                       Записывая второй закон Ньютона:<br><br>
                       $m_1a_1=F-\mu m_1 g -kx\\;(1)$<br><br>
                       $m_2a_2=kx-\mu m_2 g\\;(2)$<br><br>
                       Откуда следует, что минимальная сила $F$ будет при отсутствии ускорения<br>($a_1=0,a_2=0$)<br><br>
                       Подставляя $(1)$ во $(2)$:<br><br>
                       $\begin{aligned}&F_{\min}=\mu m_{2}g+\mu m_{1}g=\mu g(m_{1}+m_{2})\\.\end{aligned}$
                    </center>
                 </p>
              </div>   

              <h3>
              Ответ: $F = \mu g(m_1 + m_2)$
              <h3>
              </h3>
           </div>
        </div>
     </div>

  </div>
  </div>		
      <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function(){
        	setTimeout(function () {
          		$('.back-to-top').affix();
        	}, 100);
     
     });
  </script>