Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого x_0 много меньше длинынити l, если масса маятника m.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.16.$ Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого $x_0$ много меньше длины

нити $l$, если масса маятника $m$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Сила натяжения нити найдём как

$$T_\text{min}=mg\cos\varphi$$
Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\quad(1)$:
$$mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)$$
$$\boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)}$$
Запишем второй закон Ньютона
$$ma=T_\text{max}-mg$$
$$T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right)$$
Также, запишем закон сохранения энергии
$$mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
$$\upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi)$$
Учитывая приближение $(1)$
$$v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l}$$
Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$:
$$\boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right) < T < mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)$$
    </p>
  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">

Dzikan Mikita

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>