Сила нормального давления небольшого тела при малых колебанияхего вблизи положения равновесия в лунке радиуса R меняется от N до N + \Delta. Определите амплитуду колебаний этого тела.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.17.$ Сила нормального давления небольшого тела при малых колебаниях

его вблизи положения равновесия в лунке радиуса $R$ меняется от $N$ до $N + \Delta$. Определите амплитуду колебаний этого тела.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        $$N=mg\cos\varphi$$

Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}$:
$$N\approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)=mg\left(1-\frac{A^2}{2R^2}\right)\quad(1)$$
$$N+\Delta=m(a+g)=m\left(\frac{\upsilon^2}{R}+g\right)$$
Закон сохранения энергии
$$mgR(1-\cos\varphi)\approx mgR\frac{\varphi^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$
$$N+\Delta=m\left(\frac{gR\varphi^2}{R}+g\right)=mg(1+\varphi^2)$$
$$N+\Delta=mg\left(1+\frac{A^2}{R^2}\right)\quad(2)$$
Далее решаем систему из уравнений $(1)$ и $(2)$ и получаем, что:
$$\fbox{$A=R\sqrt{\frac{2\Delta}{3N+\Delta}}$}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$A=R\sqrt{\frac{2\Delta}{3N+\Delta}}$$
    </p>
  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	  Dzikan Mikita<br>
	</p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>