Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p> $1.3.18^*.$ В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен $T_1$, а при движении справа налево — $T_2 \neq T_1$. Определите радиус лунки.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="200" />
<figcaption>
К задаче 1.3.18
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3>Решение:</h3>
<center>
<figure>
<img src="drawing.png" id="drawing"
loading="lazy" width="250" />
</figure>
</center>
<p>a) Найдем радиус лунки, являющейся перпендикулярной к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока одинаковы. Поэтом наша задача аналогична тому, что из точки $O$ (<a href="#drawing">см. рис.</a>) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями oo под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha)$ соответственно, причем дальность полета обоих случаев одинакова.</p>
<p class="exp">
$$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$$
</p>
<p>Откуда получим:</p>
<p class="exp">
$\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha)$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$
</p>
<p>Тогда радиус лунки можно определить как:</p>
<p class="exp">
$$R= \frac{\frac{1}{2}S}{ \cos ( \beta + \alpha) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$$
</p>
<p>Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось $Ox$ системы координат:</p>
<p class="exp">
$$x_{1} = v_{0} \cos \beta t - \frac{1}{2} gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha)t - \frac{1}{2} gt^{2}$$
</p>
<p>В моменты времени $T_{1}$ и $T_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равны нулю. Поэтому:</p>
<p class="exp">
$0 = v_{0} \cos \beta T_{1} - 1 /2 gT_{1}^{2}$
</p><p class="exp">
$$0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha) T_{2} - \frac{1}{2} gT_{2}^{2}$$
</p>
<p>или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$:</p>
<p class="exp">
$$v_{0} \cos \beta = \frac{1}{2} gT_{1}, v_{0} \sin \beta = \frac{1}{2} gT_{2}$$
</p>
<p>Перемножая последние соотношения, получим:</p>
<p class="exp">
$$v_{0}^{2} \sin \beta \cos \beta = \frac{1}{4} g^{4}T_{1}T_{2}$$
</p>
<p>Следовательно, дальность полета равна:</p>
<p class="exp">
$$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2}$$
</p>
<p>а радиус лунки:</p>
<p class="exp">
$$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gT_{1}T_{2} }{2 \sqrt{2} }$$
</p>
<h4>
Ответ: $R = gT_1T_2/(2\sqrt{2})$
</h4>
<h3> Альтернативное решение: </h3>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/-BVTki6YyRs" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<br>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions