Электромагнитная индукция > Вихревое электрическое поле > Задача 11.2.8

Условие

$11.2.8.$ а. В контур, имеющий вид окружности и находящийся в однородном магнитном поле, включены два конденсатора емкости $C_1$ и $C_2$. Контур соединяют по диаметру перемычкой — проводником $ab$. Определите заряд на обкладках конденсаторов, если скорость изменения магнитного потока через контур равна $\varphi$.

б∗. Чему был бы равен заряд на обкладках дополнительного конденсатора емкости $C_3$, включенного так, как изображено на рисунке?

Решение

а) Ну тут все довольно тривиально, напряжение на каждом конденсаторе:

$$U = \frac{\varphi}{2}$$

Значит заряд на каждом конденсаторе:

$$q_1 = C_1 \frac{\varphi}{2}$$

$$q_2 = C_2 \frac{\varphi}{2}$$

б) Сделаем предположение что индукция поля направлена внутрь рисунка. Тогда результирующий ток показан на рисунке:

Так же на рисунке указаны знаки зарядов на обкладках конденсаторов и направление поля в них(по/против тока).

Распишем сумму падений напряжений для левой и правой полуокружности:

$$U_1 + U_3 = \frac{\varphi}{2}$$

$$U_3 - U_2 = - \frac{\varphi}{2}$$

Отсюда:

$$U_1 = \frac{\varphi}{2} - U_3$$
$$U_2 = U_3 + \frac{\varphi}{2}$$

Узлы a, b нейтральные, поэтому алгебраическая сумма зарядов на обкладках подключенных к узлам равна нулю:

$$q_1 - q_2 - q_3 = 0$$

$$C_1 U_1 - C_2 U_2 = C_3 U_3$$

Подставим наши соотношения для напряжений:

$$C_1\frac{\varphi}{2} - C_1 U_3 - C_2 U_3 - C_2 \frac{\varphi}{2} = C_3 U_3$$

$$U_3 = \frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2 + C_3}\frac{\varphi}{2}$$

$$q_3 = \frac{C_3(C_1 - C_2)}{C_1 + C_2 + C_3}\frac{\varphi}{2}$$

В Савченко видимо выбрано противоположное направление индукции, поэтому ответ получился с минусом

Ответ

а)

$$q_1 = C_1 \frac{\varphi}{2}$$

$$q_2 = C_2 \frac{\varphi}{2}$$

б)

$$q_3 = \frac{C_3(C_1 - C_2)}{C_1 + C_2 + C_3}\frac{\varphi}{2}$$