Электромагнитная индукция > Взаимная индуктивность. Индуктивность проводников. Трансформаторы > Задача 11.3.6

Условие

$11.3.6^*.$ Внутренний радиус обмотки длинного соленоида $r_1 = 0.05$ м, внешний радиус $r_2 = 0.1$ м, число витков на единицу длины соленоида $n = 10 000$.
Определите индуктивность единицы длины соленоида.

Решение

Известно, что при прохождении через обладающий индуктивностью (на единицу длины!!!) $L$ запасает энергию магнитного поля
$$
\frac{dW}{dl}=\frac{I^2L}{2}
$$
Объёмная плотность этой энергии равна
$$
w=\frac{dW}{dV}=\frac{B^2}{2\mu_0}
$$
Теперь важно вспомнить, что формула поля внутри катушки $B=\mu_0 nI$ верна только для тонкого соленоида, а мы, видимо, имеем дело с многовитковой катушкой (думаю, условие необходимо уточнить).
Предположим, что ток равномерно распределен по обмотке. Очевидно, что в некой точке на расстоянии $r$ от оси соленоида поле создается только внешними относительно этой точки витками (если это непонятно, стоит вернуться к задаче о поле тонкого соленоида). Тогда магнитное поле в пространстве

$$ B(r) = \mu_0 n I, \quad \text{при } 0 \le r \le r_1 $$

$$ B(r) = \mu_0 n I \frac{r_2 - r}{r_2 - r_1}, \quad \text{при } r_1 \le r \le r_2 $$

$$ B(r) = 0, \quad \text{при } r \ge r_2 $$
Исходя из всего этого, запишем
$$
\frac{I^2L'}{2}=\int \frac{B^2}{2\mu_0} dS
$$
Здесь $dS = 2\pi r dr$ — площадь кольцевого элемента сечения. Дальше дело техники: вынесем константы, разделим обе части на $\frac{I^2}{2}$ и проинтегрируем по 2-м областям

$$ L' = 2\mu_0 \pi n^2 \left[ \int_0^{r_1} r dr + \frac{1}{(r_2 - r_1)^2} \int_{r_1}^{r_2} (r_2 - r)^2 r dr \right] $$

Вычисляя интегралы, получаем:

$$ \int_0^{r_1} r dr = \frac{r_1^2}{2} $$

$$ \int_{r_1}^{r_2} \frac{(r_2 - r)^2}{(r_2 - r_1)^2} r dr = \frac{r_2(r_2 - r_1)}{3} - \frac{(r_2 - r_1)^2}{4} $$

$$
L' = \mu_0 \pi n^2 \left( r_1^2 + \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + 3r_1)}{6} \right)
$$
$$
L' \approx 1.81 \text{ Гн/м}
$$

$No:$

Ответ у Савченко неверен. Ответ как в задачнике получается при условии, что магнитное поле во всем объеме соленоида одинаково и равно максимальному $B=\mu_0 nI$.

Ответ

$$
\boxed{
L' \approx 1.81 \text{ Гн/м} }
$$