Электромагнитные волны > Распространение электромагнитных волн Квантовая природа света > Задача 12.2.4

Условие

$12.2.4$. Найдите углы, определяющие направления минимумов излучения, если плоская волна падает перпендикулярно на щель ширины $b$. Длина волны $\lambda < b$.

Решение

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент площади щели становится источником сферической волны. Амплитуда колебаний в некоторой точке на расстоянии $r\gg b$ является суммой амплитуд этих волн.

Пусть $\Delta(x)$ - разность хода в точке $A$ между испущенной из центра щели и из точки с координатой $x$ волнами.
$$
\Delta(x)=r-r(x)=r-(r^2+x^2-2xr\cos\theta)^{\frac{1}{2}}
$$
Используя стандартные приближения,
$$
\Delta(x)\approx r-r\left(1-2x\cos\theta\right)^{\frac{1}{2}}\approx x\cos\theta
$$
Пусть фаза испущенной из середины щели (участком шириной $dx$) волны равна 0, её уравнение:
$$
\psi (0, t)=\psi_0dx=A_0e^{i(\omega t-kr)}
$$
Тогда
$$
\psi (x, t)=A_0e^{i(\omega t-k(r+\Delta))}=\psi_0e^{-ikx\cos\theta}dx
$$
Амплитуда в точке $A$:
$$
A\propto\int_{-b/2}^{b/2}e^{-ixk\cos\theta}dx\propto\frac{e^{ik\frac{b}{2}\cos\theta}-e^{-ik\frac{b}{2}\cos\theta}}{ik\cos\theta}
$$
Вспомним, что $\sin u = \frac{e^{i u} - e^{-i u}}{2i}$
$$
A\propto 2\frac{\sin\left(k\frac{b}{2}\cos\theta\right)}{k\cos\theta}
$$
Условие минимумов:
$$
A=0 \ \to k\frac{b}{2}\cos\theta=\pi m, \quad m\in Z
$$
Волновое число равно $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, поэтому минимумы соответствуют углам
$$
b\cos\theta=\lambda m,\quad m\in Z
$$
Савченко использует угол к нормали, поэтому в его обозначениях то же самое:
$$
\sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z
$$

Ответ

$$
\boxed{\sin \alpha_k = \frac{k\lambda}{b},\quad k\in Z}
$$