Электромагнитные волны > Распространение электромагнитных волн Квантовая природа света > Задача 12.2.7

Условие

$12.2.7$. На отверстие радиуса $r$ падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны $\lambda\ll r$. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии $z_0$ от центра отверстия, если $\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$.

Решение

Разрешённые автором приближения сводят задачу к дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: волновой фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$. Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, наблюдается максимум интенсивности. Когда же отверстие открывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум).

Найдём радиусы зон Френеля:
$$
\sqrt{r_m^2 + l^2} - l = \frac{m\lambda}{2} \tag{1}
$$
$$
r_m =\sqrt{ml\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{ml\lambda}, \quad m \in N \tag{2}
$$
$$
l_m=\frac{r^2}{(2m-1)\lambda}\tag{3}\ - координаты \ максимумов
$$
$$
l_{max}=\frac{r^2}{\lambda} \ - последний \ максимум
$$
Расстояние между соседними максимумами, очевидно:
$$
l_k = l_{k+1} - l_{k} = \frac{2r^2}{\lambda (2k+1) (2k-1)}
$$
$\frac{r^2}{\lambda}\gg z_0 \gg r$ поэтому речь идет о очень больших номерах максимумов:
$$
z_0\approx \frac{r^2}{(2k-1)\lambda} \quad\to\quad \frac{r^2}{\lambda}\gg \frac{r^2}{(2k-1)\lambda}\to k\gg1
$$
поэтому
$$
l_k \approx \frac{2r^2}{\lambda (2k+1)^2} \approx\frac{2\lambda z_0^2}{r^2}
$$

Анализируя формулу $(3)$, можно заметить, что вообще говоря максимув в промежутке $z\in[0, l_{max}]$ бесконечно много (в реальности наша теория пока выполняется условие $l_k\gg \lambda$, дальше все несколько сложнее), а расстояние между ними будет стремиться к нулю при $z\to0$. Значит, авторская иллюстрация по сути неверна. Авторские решения также неверны

Ответ

$$
\boxed{l=\frac{r^2}{\lambda};\quad l_k \approx \frac{2\lambda z_0^2}{r^2} }
$$